Hamilton系统理论在内波研究中的应用

论文摘要

分层流体域中的内波理论不仅在海洋工程方面具有重要意义,同时也是非线性色散方程模型的重要来源。本文运用Dirichlet-Neumann算子给出的Dirichlet积分的表达式,推导了两层和三层流体域中有关Zakharov在Hamilton算子方面的公式。通过此公式,本文应用Hamilton摄动理论对重要的长波尺度形式,Boussinesq尺度形式和KdV尺度形式,进行了系统的分析。本文得到的有关公式不仅在摄动计算方面有着重要意义,也为数值模拟提供了基础保证。论文的主要结果如下:第一,本文得出了周期底部边界条件下两层密度成层流体中2-维非线性长波问题的Hamilton公式,其中振幅的变化与流体深度是同阶的。从这个公式出发,应用Hamilton摄动理论,本文导出了底地形短尺度变化下描述双向长波运动的有效Boussinesq方程和描述单向长波运动的近似KdV方程。这些结果的推导都是在多重尺度算子渐近分析理论框架下完成的。另外,为了公式推导的方便简洁,本文将上层流体的自由面假设为刚盖条件。当然,借助第二章附录中给出的自由面非刚盖条件下上层流体Dirichlet-Neumann算子的泰勒展式,本文的结果完全可以推广到非刚盖情形。第二,在刚盖边界条件下,本文研究了三层密度成层流体内内波的长波展开,给出了流体域中2-维非线性长波问题的Hamilton公式。应用此公式,本文导出了界面的线性化方程和相应的色散关系,得知三层密度成层流体界面内波有两个运动模态,它们分别对应于两个界面波的传播方式。同时,应用Hamilton摄动理论得到了界面波动的耦合Boussinesq方程;依据界面振幅差距的大小,本文分两种情况给出了内波单向传播的KdV方程（一个界面）和耦合KdV方程组（两个界面）。这些结果的推导都是在多重尺度算子渐近分析理论框架下完成的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第零章 引言
• 0.1 内波
• 0.1.1 内波的产生和基本性质
• 0.1.2 孤立内波
• 0.1.3 内波研究的意义
• 0.2 Hamilton系统理论的发展概况
• 0.2.1 Hamilton力学的产生与发展
• 0.2.2 Hamilton系统的数学理论-辛几何学
• 0.3 Hamilton系统理论在非线性水波研究中的进展
• 0.4 本文的工作和结构安排
• 第一章 预备知识
• 1.1 Hamilton系统与辛几何
• 1.2 Hamilton摄动理论介绍
• 1.3 典则变换
• 1.4 特殊的典则变换
• 第二章 周期底地形上内波的Hamilton长波展开
• 2.1 引言
• 2.2 运动方程
• 2.2.1 基本方程和边界条件
• 2.2.2 界面的Lagrange算子
• 2.2.3 Dirichlet-Neumann算子
• 2.3 界面的长波展开
• 2.3.1 内波的Boussinesq方程
• 2.3.2 内波的KdV方程
• 2.4 小结
• 2.5 附录
• 第三章 三层流体界面内波的Hamilton长波展开
• 3.1 引言
• 3.2 运动方程
• 3.2.1 基本方程和边界条件
• 3.2.2 界面的Lagrange算子
• 3.3 线性化方程
• 3.4 内波的Boussinesq方程
• 3.5 内波的KdV方程
• 3.6 小结
• 3.7 附录
• 1（t,η₁）的Dirichlet-Neumann算子'>3.7.1 上层流体域S₁（t,η₁）的Dirichlet-Neumann算子
• 2（t;η₁,η₂）的Dirichlet-Neumaan算子'>3.7.2 中间流体域S₂（t;η₁,η₂）的Dirichlet-Neumaan算子
• 3（t;η₂）的Dirichlet-Neumann算子'>3.7.3 下层流体域S₃（t;η₂）的Dirichlet-Neumann算子
• 第四章 总结和展望
• 4.1 总结
• 4.2 展望
• 参考文献
• 附录一 研究成果
• 附录二 致谢