来自物理和生物中的一些偏微分方程问题

论文摘要

本文主要研究三个来自物理和生物的偏微分方程问题.这三个问题的研究,作为数学问题,侧重点各不相同.但我们的研究结果在实际应用中具有一定的价值,能反映该物理或生物问题的某些特性.第一部分,我们着重研究从MEMS模型抽象出来的一个数学问题,即Dirichlet问题-△u+c（χ）·Vu=λf（u）在Rn的光滑有界区域上极值解u*的正则性.其中,f是在α∈（0,∞）有限值处爆破的非降正凸函数.我们证明了在低维空间中此问题的极值解是正则的.第二部分,我们的问题来源于Allen-Cahn方程和薄膜问题,即其中,f∈C1,σ（-δ0，δ0,）,对某个δ0>0,σ>0且f（0）=f’（0）=0.我们主要考虑此问题在0附近振荡的解的渐近行为.我们得到了此解渐近行为的较精确估计,并将其具体应用到Allen-Cahn方程和薄膜问题上.第三部分,用于模拟水蛭再生现象的模型Gierer-Meinhardt方程在近十年已经受到很多数学家的关注.从该系统的稳态方程解的集中现象到其动力部分系统的解的轨线分布都有很多较完整的结论.在本文中,我们考虑Gierer-Meinhardt系统在催化剂自增长率非零的时候动力部分系统解的轨线分布,其中包括全局稳定解,周期解的存在和不存在的条件以及有限时间内爆破解的渐近行为.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 一类带奇异非线性项的半线性椭圆方程极值解的正则性
• 1.1 背景介绍
• 1.2 主要结论
• 1.3 预备知识
• 1.4 极值解的正则性
• 1.5 相关问题
• 第二章 一类半线性椭圆方程径向对称解的渐近行为
• 2.1 背景介绍与主要结论
• 2.2 定理证明
• 2.3 定理应用
• 第三章 带自增长率的反应扩散系统的动力系统
• 3.1 背景介绍
• 3.2 主要结论
• 3.3 预备知识
• 3.4 某些条件下周期解不存在的证明
• 3.5 某些条件下周期解存在的证明
• 3.6 爆破解的渐近行为
• 3.7 有待解决的相关问题
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间完成的论文