形式级数域上连分数展式与丢番图逼近的若干问题

论文摘要

这篇论文主要研究形式级数域上连分数展式与丢番图逼近中的若干问题,我们估计了形式级数域上连分数展式满足某种限制条件的例外集的Hausdorff维数,并证明了形式级数域上Diophantine逼近的一个相关结果。包括第一章引言与第二章预备知识在内,本文一共有五章内容。我们知道,形式级数域上几乎所有连分数展式部分商的次数和以线性速度增长,J.Wu在2005年研究了增长速度是多项式阶与指数阶的例外集的Hausdorff维数,在本文的第三章,我们给出以一般函数阶速度增长的例外集的Hausdorff维数,从而包含了J.Wu的结果。在2010年,M.Jellali等人引入形式级数域上一种新的连分数展式：β-连分数展式,并讨论了这种连分数展式的度量性质,遍历性质,以及有界型集与部分商次数和以多项式阶与指数阶增长的例外集的Hausdorff维数。在本文第四章,我们研究β-连分数展式中数字集{en（χ）：n≥1}的度量性质,得到所谓的“0-1”律和极限结果,并且分别估计了具有序列部分商和部分商次数和满足一般函数阶增长速度的例外集的Hausdorff维数。设函数ψ：R≥1→R≥0，记设b≥3,J（b）为{0,1,…,b-1}的基数大于等于2的子集,记KJ（b）为[0,1]中b进制展式数字集只取J（b）中元素的实数构成的集合。假设函数χ2ψ（χ）单调递减趋于0,Y Bugeaud在2008年证明了：对于任意0<c<1/b,集合是不可数的.在本文的第五章,我们将Y Bugeaud关于Cantor集上丢番图逼近的结果推广到形式级数域上,得到形式级数域上关于Beta-展式中丢番图逼近的相关结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论与概述
• 1.1 分形几何的研究背景
• 1.2 实数的正规连分数展式
• 1.3 形式级数域上正规连分数展式
• 1.4 形式级数域上Beta-连分数展式
• 1.5 丢番图逼近与形式级数域上Beta-展式
• 2 预备知识
• 2.1 Hausdorff测度和Hausdorff维数
• 2.2 齐次Moran集及其维数结果
• 2.3 正规连分数展式的性质
• 2.4 Beta-连分数展式的性质
• 2.5 Beta-展式的性质
• 3 Laurent级数连分数展式部分商的次数和
• 3.1 引言与主要结果
• 3.2 主要结果的证明
• 4 Beta-连分数的度量性质与例外集的维数
• 4.1 引言与主要结果
• 4.2 数字集{en（x）}的度量性质
• 4.3 具有序列部分商的Beta-连分数
• 4.4 关于Beta-连分数部分商的次数和
• 5 丢番图逼近与Laurent级数的Beta-展式
• 5.1 引言与主要结果
• 5.2 主要结果的证明
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读学位期间发表论文目录