基于特征思想的高分辨率格式的研究和应用

论文摘要

本文为数值求解依赖时间的偏微分方程提出两类基于特征思想的高分辨率格式。从而我们主要考虑两部分内容。首先基于CIP方法和高阶紧致方法,我们提出一种新型特征插值高阶紧致差分方法,并将其运用于数值模拟非线性波动方程。然后我们对守恒型双曲方程提出一种基于特征思想的有限体积方法,并应用于数值求解Eulelr方程组和浅水方程组。论文的第一大部分,我们对非线性波动方程提出一种非守恒Semi-Lagrangian方法。这种格式的主要构造思想如下:根据两相邻节点的节点值和导数值构造三次多项式,然后运用Semi-Lagrangian的方法求解节点沿特征线移动的位置,由此三次多项式和节点位置得到时间上的推进。不同于传统的CIP格式,我们利用最初由Lele提出的高阶紧致格式直接利用节点值求解一阶导数值。最后我们将这种格式运用于数值模拟Burgers方程和KdV方程验证格式的高分辨率的性质。通过一系列的数值试验验证格式的有效性。最后将这种格式推广到一维的Euler方程组。论文的第二大部分,我们对双曲守恒方程组构造有限体积格式,由于Euler方程组在空气动力学中的的重要性,我们主要基于Euler方程组构造格式。这种格式的空间导数通过有限体积离散,时间上采用Simpson公式离散。其中有限体积格式中的通量值通过单元边界点的值得到,而该单元边界点的值是通过中心加权重构得到。求解此节点值的主要思想如下:首先运用三阶或四阶Runge-Kutta方法求解特征方程,从而得到节点沿特征线的位置。然后采用CWENO重构得到多项式,我们分别构造三阶和五阶CWENO格式构造多项式,最后利用节点位置和此多项式得到节点值。这种高分辨率的有限体积格式结合特征思想和中心加权格式的优点。然后我们将这种基于特征思想的有限体积格式应用于一维的标量和Euler守恒方程,通过经典的算例验证格式的高分率和收敛的性质。最后将这种基于特征思想的高阶有限体积格式应用于一些浅水问题,从而验证格式,如一维溃坝问题,临界左稀疏波问题,两稀疏波中间几乎为干底问题,干溃坝问题,生成干溃坝问题等。另外,我们同时将这种格式按照分裂方法推广到二维守恒律情形。并通过对二维的溃坝问题的应用验证格式的有效性,通过与WAF格式以及其它高阶数值格式相比较可以看到该格式得到非常好的数值结果。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 CIP类格式
• 1.2.1 质量守恒型CIP格式
• 1.2.2 守恒型CIP格式
• 1.3 本质无震荡格式
• 1.3.1 迎风型本质无震荡格式
• 1.3.2 中心本质无震荡格式
• 1.4 高阶紧致格式
• 1.4.1 传统的紧致格式
• 1.4.2 无震荡紧致格式
• 1.5 浅水方程的数值模拟格式
• 1.6 本文的主要工作内容
• 1.7 论文结构安排
• 第2章 非线性波动方程的特征紧致格式
• 2.1 本章引言
• 2.2 CIP类方法回顾
• 2.2.1 一维情形下的CIP格式
• 2.2.2 CIP-CSL4格式
• 2.2.3 CIP-CSL3格式
• 2.3 高阶紧致格式
• 2.3.1 内部节点导数的构造
• 2.3.2 非周期边界点的高阶格式构造
• 2.4 CIP-HOC格式求解非线性波方程
• 2.5 数值验证
• 2.6 本章小结
• 第3章 守恒方程基于特征思想的有限体积方法
• 3.1 方法的产生
• 3.2 标量守恒方程的特征有限体积格式
• 3.2.1 时间积分离散
• 3.2.2 网格节点位置
• 3.2.3 重构节点值
• 3.3 一维Euler方程组的特征有限体积格式
• 3.4 数值验证
• 3.4.1 数值求解标量守恒方程
• 3.4.2 数值求解一维Euler方程组
• 3.5 本章小结
• 第4章 基于特征思想的高阶方法求解浅水问题
• 4.1 本章引言
• 4.2 一维浅水方程
• 4.2.1 一维不含源项的浅水方程数值格式
• 4.2.2 一维有源项浅水方程数值格式
• 4.2.3 HLL Riemann解算子
• 4.2.4 HLLC Riemann解算子
• 4.3 二维无源项浅水方程
• 4.4 数值算例与验证
• 4.4.1 一维算例
• 4.4.2 二维溃坝问题
• 4.5 本章小结
• 第5章 总结和展望
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文