一种基于HYPRE的高次Lagrange有限元方程的并行代数多层网格法

论文摘要

多层网格法通常可分为几何多层网格（GMG）法和代数多层网格（AMG）法与GMG法相比,AMG法具有更强的普适性和鲁棒性（robustness）,它是求解许多大规模科学工程计算问题特别是偏微分方程离散化系统的最为有效的方法之一。HYPRE是目前国际上流行的一种在大规模并行计算机上求解大型稀疏线性方程组的数值软件包其目的是为用户提供高性能并行解法器和预条件子,BoomerAMG是其中最常用的并行代数多层网格解法器之一.本文基于HYPRE平台,针对三维二阶椭圆边值问题在分层基下的高次Lagrange有限元方程讨论其并行AMG求解算法我们的工作主要有1.简要介绍了HYPRE数值软件包重点介绍了几种经典AMG的网格粗化算法,如RS算法,CLJP算法以及一种常用的并行网格粗化算法:Falgout算法,最后介绍了近年发展起来的连续子空间校正算法框架及其收敛性理论2.在四面体网格剖分下,针对一种分层基下的三维二阶椭圆边值问题的高次有限元方程分别设计了生成其总刚度矩阵和总载荷向量的串行算法和一种基于子区域划分的并行算法。对于后者,我们是通过引入与侧面、分划棱及角点的关联矩阵,并进行通信,来获得当前进程上与其它进程关联的刚度矩阵和载荷向量。另外,我们对分层基采用了一种合理的序,不仅为程序设计带来方便而且提高了并行AMG的磨光效率数值实验结果表明,我们所设计的并行算法扩大了刚度矩阵的生成规模,具有较好的可扩展性3.首先针对上述并行生成的高次有限元方程设计并分析了一种基于辅助变分问题的新的AMG（X-AMG）法在拟一致网格剖分下,利用连续子空间校正理论证明了这种新的AMG法的下降率与网格尺寸无关,数值结果也验证了理论的正确性接着为X-AMG法设计了两种并行算法,第一种基于串行刚度矩阵结构,该算法虽然关于迭代次数具有着较好可扩展性但由于其中的并行向量与串行向量的相互转化过于频繁,并且算法过于依赖磨光子的选取从而降低了并行效率因此基于子区域划分的并行矩阵结构,我们给出了一种更加合理的X-AMG并行算法数值实验结果表明,对于求解高次有限元方程这种并行X-AMG算法比BoomerAMG具有更高的效率

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 预备知识
• §2.1 HYPRE简介
• §2.2 AMG法及两种经典粗化方法简介
• §2.3 并行Falgout粗化方法
• §2.4 若干记号和Sobolev空间
• §2.5 连续子空间校正法（MSSC）及其收敛性理论
• 第三章 一种基于子区域分划的高次元离散系统的并行生成算法
• §3.1 模型问题与高次Lagrange有限元空间
• §3.2 一种基于分层基的刚度矩阵和载荷向量的串行生成算法
• §3.3 基于子区域分划的并行矩阵生成算法及其数值实验
• 第四章 一种并行AMG法及其收敛性分析
• §4.1 BoomerAMG及其数值实验
• §4.2 一种新的AMG法及其收敛性分析
• §4.3 X-AMG法的并行算法设计及其数值实验
• 结论和展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果