非线性偏微分方程的精确解与广义改进的F-展开法

论文摘要

本文研究的主要内容:在齐次平衡原则的思想下,充分利用F-展开法和Riccati方程在非线性偏微分方程（PDES）求解中的优良特性,提出一种广义改进的F-展开法。此方法在借助于计算机符号系统Mathematica下,操作方便,可以得到非线性PDES的一系列精确解（类孤子解,三角函数周期解,有理数解,指数解）。并用此方法求解了Kdv-mKdv方程及（2+1）维Burgers方程,得到了他们丰富类型的精确解,其中部分是新解。并对部分解进行数值模拟以便直观分析。首先,利用齐次平衡思想及改进的辅助方程方法研究了Klein-Gordon方程,得到了Klein-Gordon方程类孤子解,三角函数周期解,有理数解,指数解。其次,利用改进的F-展开法研究了（2+1）维Broer-Kaup方程。得到了他们丰富类型的精确解:光滑的钟形孤立波解,kink解,类孤子解,复数形式解,有理数解等,并得到了部分新解。这些解对于解释一些物理现象具有一定的意义。最后,利用广义改进的F-展开法研究了Kdv-mKdv方程和（2+1）维Burgers的精确解。得到了它的kink解,类孤子解,复数形式解,有理数解等,这对于对这些方程的进一步研究有积极的意义。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究现状
• 1.3 研究内容和意义
• 第二章 基本概念
• 2.1 孤立子及尖峰孤立子
• 2.2 孤立子的分类
• 2.3 逆算符方法
• 2.4 齐次平衡方法
• 2.5 JACOBI椭圆函数方法
• 2.6 辅助方程方法
• 2.7 F-展开法
• 第三章 改进的辅助方程方法求解KLEIN-GORDON方程
• 3.1 改进的辅助方程方法
• 3.2 求解KLEIN-GORDON方程
• 第四章 改进的F-展开法
• 4.1 改进的F-展开法
• 4.2 （2+1）维BROER-KAUP方程
• 第五章 求解偏微分方程的一种广义改进的F-展开法
• 5.1 广义改进的F-展开法
• 5.2 KDV-MKDV方程的精确解
• 5.3 （2+1）维BURGERS方程的精确解
• 第六章 结束语
• 参考文献
• 读研期间发表的论文
• 致谢