四元数矩阵代数中的若干问题研究

论文摘要

本论文以四元数矩阵代数为研究背景，分别讨论了四元数矩阵重行列式的估计、多个四元数矩阵的同时对角化、四元数矩阵Jordan分解变换阵的算法以及四元数矩阵方程的求解等问题，所获得的结果推广和改进了已有文献的结论，是四元数矩阵理论和直用的新发展全文分为五章，具体内容介绍如下：在第一章绪论中简述了四元数及四元数矩阵理论的背景、发展状况以及本文的主要结果在第二章中，研究了两个四元数矩阵的和的重行列式的估计一方面，通过构造性的方法，给出了任意两个四元数矩阵的和的重行列式的上界估计；另一方面，对两个构成协调对的四元数矩阵，建立了它们的和的重行列式的下界估计式同时注意到，一个数域上的矩阵也是一个四元数矩阵，从而利用本章的结论可建立一系列数域上矩阵行列式的相关不等式最后，作为直用，举例说明了一些现有的结论可作为本章结论的推论，并完全地回答了复矩阵行列式理论中的一个问题在第三章中，从两个方面研究了多个四元数矩阵的同时对角化问题首先，给出了一个四元数矩阵对同时实对角化的定义，讨论了两个四元数矩阵可同时实对角化的充分必要条件，并给出了可行的算法进一步，讨论了一个四元数长矩阵集可同时实对角化的情况作为直用，我们将四元数矩阵对的同时实对角化直用于求解四元数矩阵方程中，所获得的结果也推广了现有文献的结果其次，给出了四元数矩阵对的同时复对角化的定义，讨论了两个四元数长矩阵的同时复对角化的充分必要条件进一步，对一个四元数长矩阵集，针对其同时复对角化问题，给出了一系列充分必要条件在第四章中，通过引入四元数矩阵Jordan链的定义，结合四元数矩阵的复导出阵与四元数矩阵之间的对直关系，给出了一个计算任意四元数矩阵的Jordan标准形变换阵的完全算法，它为四元数矩阵代数在更广泛的领域中获得直用提供了基础在最后一章，由于常规的矩阵Kronecker积的公式对于一般的四元数矩阵不再成立，因此用常规的手段来研究四元数矩阵方程通常是失效的首先，研究了四元数体上一类广义sylvester方程，AX-xB=0，的所有解的具体表达式其次，通过将复矩阵方程看作四元数矩阵方程，从而利用四元数矩阵独有的性质来给出了复矩阵方程Ax-xB=c有解的充分必要条件，进一步给出了求解此方程的具体算法最后，我们讨论了四元数体上一类特征值反问题及其最小二乘问题，推广了现有文献的结果

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 四元数和四元数矩阵理论简介
• 1.2.1 四元数理论简介
• 1.2.2 四元数矩阵理论简介
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 常用记号和说明
• 第二章 四元数矩阵重行列式的估计
• 2.1 引言
• 2.2 定义及预理
• 2.3 四元数矩阵重行列式的估计
• 2.4 例子及应用
• 第三章 四元数矩阵对的同时对角化
• 3.1 引言
• 3.2 四元数矩阵对的同时实对角化
• 3.2.1 四元数长方对的同时实对角化
• 3.2.2 同时实对角化的算法
• 3.2.3 四元数矩阵对实对角化的应用
• 3.3 四元数矩阵对的同时复对角化
• 第四章 四元数Jordan分解变换阵的算法
• 4.1 定义与引理
• 4.2 四元数矩阵Jordan分解的算法
• 第五章 求解四元数矩阵方程
• 5.1 求解四元数矩阵方程AX-XB=0
• 5.2 解四元数矩阵方程在复数域上的应用
• 5.3 四元数体上的一类特征值反问题
• 5.3.1 引言
• 5.3.2 问题I的解
• 5.3.3 问题II的解
• 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 作者在学期间取得的学术成果