非线性方程X-A～*X～（-p）A=I（p＞0）的Hermite正定解

论文摘要

求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解。由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以我们只讨论此类解的情况。在现实生活中,方程X-A*X-pA=I的来源相当广泛,包括控制理论,动态规划,统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域。关于此类方程的求解通常涉及到三个问题:（1） 可解性问题,即方程有解的充分和必要条件;（2） 数值求解问题,即有效的数值方法;（3）解的扰动分析。 首先,本文讨论了方程 X-A*X-pA=I （1）在p>0时的可解性,主要结论如下: 定理1 对任意的矩阵A∈Cn×n,方程（1）总是有解。 定理2 对任意的可逆矩阵A∈Cn×n,存在酉矩阵P,Q和对角矩阵Γ>I,∑>0,使得 A=P*ΓpQ∑P,其中Γ2-∑2=I。此时X=P*Γ2P是方程（1）的解。 定理3 若A是正规矩阵,即存在一个酉矩阵P满足A=P*∧P,其中∧=diag（λ1,λ2,…,λn）,λi,i=1,2,…,n是A的特征值,则 X=P*diag（μ1,μ2,…,μn）P是方程（1）的解,其中μi（i=1,2,…,n）是方程 μi-|λi|2μi-p=1的唯一正解。 定理4 若A是酉矩阵并且p≤p0,其中p0>0满足 P0p0/（p0+1）+1=p0,

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 第二章 矩阵方程的可解性
• *X^-pA=I（p>1）的迭代求解'>第三章 X-A^*X^-pA=I（p>1）的迭代求解
• *X^-pA=I（p≤1）的解及其扰动分析'>第四章 X-A^*X^-pA=I（p≤1）的解及其扰动分析
• 4.1 解的唯一性
• 4.2 扰动分析
• 4.2.1 方程在p=1时的扰动分析
• 4:2 1.1 扰动边界
• 4:2 1.2 条件数
• 4.2.1.3 向后误差
• 4.2.2 方程在p<1时的扰动分析
• 4.2.2.1 扰动边界
• 4.2.2.2 条件数
• 4.2.2.3 向后误差
• 第五章 数值例子
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表与被接受的论文目录
• 攻读学位期间完成的论文目录
• 学位论文评阅及答辩情况表