与[f（n）]互素的自然数的个数

论文摘要

1953年,G.L.Waston[1]利用筛法证明了如下结论：对每一个实数α,令满足（n,[αn]）=1的自然数的密度为δ（α）.当α为无理数时,有δ（α）=6/π2.当α为有理数时,设α=a/q,这里（a,q）=1,q>0,则δ（n）的值只依赖于q,此时1999年在布达佩斯举行的主题为"Paul Erdos和他的数学”的会议上,一本名为《Some of Paul’s favorite problems》的小书广为流传.类似于G.L.Waston的文章[1],在文[2]中,Delmer和Deshouillers证明了如下结果：设c>0是一个非整数实数,则满足（n,[nc]）=1的自然数的密度为6/π2.这一结论对上述书中由Moser, Lambek和Paul Erdos所提出的问题134给出了一个肯定的答案.设x是一个充分大的实数,令Nc（x）表示不超过x且满足（n,[nc]）=1的自然数n的个数,则上述定理可以重述为：当0<c<1时,上式中的余项可以有更好的估计.在Lambek和Moser的文[3]的定理1中取f（n）=nc,得到但是当c>1时,文[2]用到了筛法思想,因此用文[3]的方法很难改进上面式子中的余项估计o（x）.后来,翟文广在文[4]利用指数和方法证明了如下结果：这里,c>1,（κ,λ）是满足λ+（2c-2）κ<1的指数对.当1<c<2时,η=1；当c>2时,η=0.本文的第一部分研究了与[nc1],[nc2]互素的自然数的个数,这里1<c1<c2为非整数实数.我们有下面的定理1设x是一个充分大的实数,1<c1<c2为非整数实数,Nc1c2（x）表示不超过x且满足（n,[nc1]）=1,（n,[nc2]）=1的自然数n的个数,则渐近公式对某个常数δ=δ（c1,c2）>0成立,这里令n>1为整数,a为整数.若存在整数x使得a2x≡a（mod n）,并称a模n正则.令（?）（n）表示满足1≤a≤n的模几正则的整数a的个数.L.Toth[11]证明了这里B=π2/6≈1.6449.设r≥1是固定整数.在本文第二部分,我们研究函数（（?）（n）/φ（n））r的均值.我们有定理2设r≥1是固定整数,则有这里Cr为常数.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 与[f（n）]互素的自然数的个数
• §1.1 引言
• §1.2 基本引理
• §1.3 问题的转化
• Ai （j=6,7,8,9）的估计'>§1.4 ∑_Ai（j=6,7,8,9）的估计
• §1.5 定理的证明
• r的均值估计'>第二章 函数（ρ（n）/φ（n））^r的均值估计
• §2.1 引言
• §2.2 定理的证明
• 参考文献
• 学术论文发表目录
• 致谢