解具特殊系数矩阵线性代数方程组的预条件迭代法

论文摘要

求解大型线性代数方程组,特别是由椭圆型偏微分方程离散化后得出的线性代数方程组,一直是令人关注的课题。面对各种数据庞大的线性代数方程组,用传统的几种迭代方法（如Jacobi法,Gauss-Seidel法等）,因常常迭代收敛速度缓慢,甚至不能收敛而不尽人意。不少学者发展了当系数矩阵具有特殊性质时（为某类对角占优Z—矩阵、Q—矩阵）的各种传统迭代法的预条件方法,使得收敛性有不少提高。结合实际问题,本文考虑具有更优特性的分块矩阵,如文中所讨论的具有性质A的矩阵或指数p（p=3,4,5）的（弱）循环矩阵,主要结果有: （1）系数矩阵具有性质A时,分别给出了预条件Jacobi、Gauss-Seidel、对称Gauss-Seidel迭代矩阵与传统块Jacobi迭代矩阵二者特征值之间的关系,作为应用,选取某个恰当的预条件条件因子时,使得传统块Jacobi迭代法不收敛的情况下,预条件块迭代法能收敛;而传统块Jacobi迭代法收敛的情况下,预条件块迭代法能提高收敛速度。 （2）系数矩阵是指数p=3,4,5循环矩阵时,分别给出了预条件Jacobi、Gauss-Seidel迭代矩阵与传统块Jacobi迭代矩阵二者特征值之间的关系,作为一个应用,通过预条件因子的特殊取值,使传统Jacobi迭代收敛时,预条件块迭代法的收敛速度成倍提高。 （3）举一个具有性质A的矩阵为例,演示预条件迭代法的优越性。

论文目录

• 第一章 绪论
• §1.1 问题的提出
• §1.2 收敛性与其它有关性质
• §1.3 迭代方法发展简述
• §1.4 有关预条件迭代法的研究与发展概况
• §1.5 本文的主要内容
• 第二章 方程组系数矩阵具有性质A的预条件方法
• §2.1 定义与性质
• §2.2 Jacobi迭代法及预条件Jacobi迭代法
• §2.3 预条件Gauss-Seidel迭代方法
• §2.4 对称GS迭代法与预条件对称GS迭代法
• 第三章 方程组系数矩阵为循环矩阵的预条件方法
• §3.1 有关循环矩阵与弱循环矩阵的概念与性质
• §3.2 指数p弱循环矩阵预条件块Jacobi迭代方法
• 第四章 应用及算例
• §4.1 稀疏最小二乘问题的预条件迭代法求解
• §4.2 算例
• 结论
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文