论文摘要
几何造型方法按是否依赖于函数表达式可分为两类:即连续和离散几何造型方法。其中连续型造型方法通常是从曲线曲面的函数表达式出发来构建几何形体;而离散造型方法则直接从一些给定点出发,按一定规则,从已知点得到更多的点,将这些点按一定拓扑结构连接就形成一条曲线或一张曲面,称为控制多边形或控制网格（统称为控制结构）。不断重复上述生成新点以及得到新控制结构的过程,只要规则选取适当,极限情况下,控制结构将收敛到光滑曲线或曲面。对于连续型造型方式,考虑到曲线曲面的几何特性及计算的复杂程度等多方面的因素,在实际应用中一般选取多项式或分段（片）多项式函数作为逼近元,利用其图形来近似代替给定的已知函数图形。在连续型造型方法中如何选取合适的逼近元以及如何分析逼近的误差是本文讨论的曲线曲面造型的第一类精度问题。离散型造型方法由于操作直观、简便、易于交互控制,特别适合于利用计算机进行处理。这种方法最后得到曲线曲面形状总体上可以从控制结构的外形进行较好的判断。但是在一些实际应用中如果要进行精确处理或分析的话往往仍然需要知道极限曲线（曲面）在某些参数点的值;另外离散造型方法通常是用加细后的控制结构来代替曲线（曲面）,因此也是一种近似,实际应用中需要知道这种近似和真实情况之间的误差是多少。由此产生了离散造型中的两个重要问题:一是如何求出曲线（曲面）上在某个参数点处对应的值。二是如何估计控制结构和极限曲线（曲面）之间的误差,这种误差问题我们称为曲线曲面造型中的第二类精度问题。对于第一类精度问题,本文应用泛函分析、算子逼近论等数学工具进行了讨论。对于第二类精度问题,则利用“开花”理论,生成函数、特征分析等技术进行了仔细的研究。在一元的情形下给出了Bézier曲线、B样条曲线以及一般细分曲线的离散造型方法的误差估计公式,特别提出了一种B样条插值细分算法,并分析了其逼近误差,结果表明该方法的精度优于普通的B样条细分方法。为了能够在更一般的离散造型中提高逼近精度,文中介绍了拟插值技术并给出了实例。细分曲面（Subdivision surfaces）造型技术是离散造型中最重要的技术之一。同传统的连续形式的曲面造型技术相比,它最主要的优点是可以处理任意拓扑结构的控制网格,因而在CAGD、计算机图形学、医学成像等领域得到了越来越广泛的应用。但是多年来,一些未解决的理论问题却限制了其在工业中的应用,直到20世纪90年代中期这一情况才得到改观。细分曲面的精确求值和误差估计就是其中两个具有代表性的问题。精确求值问题已经被Jos Stam解决,但是误差估计问题却仍然是困难的。我们介绍了关于Catmull-Clark细分曲面（双三次B样条曲面的推广）误差估计问题的一些初步结论。此外提出了Loop细分曲面（三向四次箱样条曲面的推广）精确求值的新公式,该公式是解析的,而Stam的求值公式是数值的。更进一步,本文利用特征分析技术得到了细分矩阵的精确高次幂,引入一种所谓的适用于空间四边形的新型差分—G—差分,然后求出其递推公式,并得到收敛速率,最后给出了对Loop细分曲面进行误差估计的方法。例子和数值实验表明我们的估计在正规情况下是最优的,在奇异情况下是近似最优的。