Navier-Stokes方程外部问题的混合谱方法

论文摘要

近三十年来,谱方法作为一种数值求解偏微分方程的重要方法得到了蓬勃发展,并被广泛应用于流体力学、量子力学、数值天气预报、海洋科学、化学反应数值模拟以及天体物理等领域。谱方法的主要优点是高精度。已有的谱方法一般适用于有界直角区域问题和周期问题,然而,在科学和工程等许多实际应用领域中的问题是无界区域问题和外部问题。解决这类问题通常是设定一个人工边界,加上适当的人工边界条件,然后用有限差分或有限元等常用的方法数值求解。但是,这会导致一些额外的误差。因此,我们需要研究直接求解外部问题和无界区域问题的高精度算法。本文给出直接求解Navier-Stokes方程圆外问题的混合谱方法。我们可以直接求解原始方程,但是面临三个困难:第一,如何精确处理区域边界上的速度和压力?第二,如何处理无穷远处的边界条件?第三,如何保证数值解的不可压缩性?对于第一个问题,我们可以近似地逼近区域边界上的压力和速度,但这样会导致附加的误差。反之,如果把问题放在极坐标系中研究,这个问题自然地得到解决。其次,我们可以通过添加人工边界和人工边界条件的办法解决第二个问题,但是这也会引进一些新的误差,所以我们使用定义在无穷区域上的广义Laguerre多项式或广义Laguerre函数来计算外部问题。此外,我们采用郭本瑜教授和其他一些学者的思想,即不直接研究原始的Navier-Stokes方程,而是研究其流函数形式,此时数值解自动满足不可压缩条件,从而解决了第三个问题。然而,我们就要面对一个新问题――即求解四阶非线性外部问题的谱方法。本论文共分五章。第一章是引论。第二章是一些预备知识。在第三章中,我们研究混合Laguerre-Fourier正交逼近理论及其对四阶偏微分方程外部问题的应用。我们建立了一些基本逼近结果,并构造了Navier-Stokes方程流函数形式在单位圆外的混合谱格式,它的数值解自动满足不可压缩条件。我们证明了所建立格式的稳定性和收敛性。我们还给出一些数值结果,它们显示了该方法在空间方向的谱精度,并与理论分析相吻合。在第四章中,我们研究应用广义Laguerre函数的Laguerre-Fourier正交逼近及其对四阶偏微分方程外部问题的应用,此类逼近的优点是权函数中不再含有因子e?βρ,这样得到的谱方法更加自然,并简化理论推导和实际计算。我们构造了Navier-Stokes方程流函数形式在单位圆外的相应混合谱格式,它的数值解也自动满足不可压缩条件。我们分析了此类混合谱方法的稳定性和收敛性。数值结果同样显示了它在空间方向上的谱精度,并与理论分析相吻合。第五章是一些总结性的讨论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Chapter 1 Introduction
• 1.1 History and motivation
• 1.2 Main results
• 1.3 Outline of the thesis
• Chapter 2 Preliminaries
• 2.1 The generalized Laguerre polynomials and functions
• 2.2 The Fourier approximation
• Chapter 3 Mixed Generalized Laguerre-Fourier Spectral Method For Exterior Problem of Navier-Stokes equations
• 3.1 The Generalized Laguerre Approximation
• 3.2 Mixed Spectral Method for Stream Function Form of Navier-Stokes Equations
• 3.3 Error Analysis
• 3.4 Numerical Results
• Chapter 4 Mixed Spectral Method For Exterior Problem of Navier-Stokes Equations By Using Generalized Laguerre Functions
• 4.1 The Orthogonal Approximation by using Generalized Laguerre Functions
• 4.2 Mixed Spectral Method
• 4.3 Error Analysis
• 4.4 Numerical Results
• Chapter 5 Concluding Discussion
• Appendix A
• Appendix B
• References
• 致谢
• Acknowledgements