几类非线性生物模型的周期解

论文摘要

随着人类活动范围的不断扩大，新兴工业设施的建设，交通道路的修建，矿山的开采，甚至旅游业的发展，以及人类对自然资源的过度掠夺等等，人类在享用自然的同时也在破坏着自然。昔日连绵不断的景观已被破碎化为斑块隔离状，自然界中各种各样的野生动物也日趋变得稀少……在资源有限的环境中，森林和草原上弱肉强食的野生动物能否长期繁衍生息?随着捕捞业的飞速发展和环境的污染，神秘而广阔的海洋中五彩斑斓的海洋生物会不会减少，甚至灭绝?为了使我们生活的世界高度发展而又与自然界和谐相处，就必须合理的开发和科学的管理。而数学中微分方程中的周期解问题正是对生物种群能否长期共存准确而科学的描述。Leslie介绍了一种捕食者-食饵模型，在这个模型中捕食者的环境容纳量与食饵的数量成比例。Leslie强调这样一个事实：捕食者和食饵的增长率都存在上极限，这个事实在传统的Lotka-Volterra模型中并没有得以刻画，另外，捕食者的捕食数量除了与捕食者的数量有关外还与捕食者本身的捕食能力有关，因此生物数学工作者引入了功能性反应函数的概念。在第二章利用比较定理得到了一类带有Leslie-Gower和Holling-Type-Ⅱ功能性反应函数的捕食者-食饵模型一致持续生存易验证的充分条件；接着利用Brouwer不动点定理得到了该模型正周期解的存在性。脉冲微分方程描述了某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它是对自然界的发展过程更真实的反映，经过近三十年的发展，脉冲微分方程的理论已经得到深入的发展，但是这些理论在实际中很难应用，对于种群动力学模型的研究，人们一直用连续或离散的模型来进行研究，而忽略了外界的干扰，可是现实世界中的很多生物现象以及人们对某些生命现象的优化、控制都是脉冲的，因此，本文第三章研究了一类中立型时滞脉冲系统周期解的存在性，这类中立型脉冲时滞微分方程包含了许多非线性生物模型，通过利用度理论中一个抽象的连续性定理得到了保证该模型存在正周期解的充分条件。众所周知，人工神经网络已经被广泛应用于不同领域。例如，信息处理过程，连续和离散模型，人类大脑的研究等等。许多科研工作者已经研究证明人工神经网络有许多复杂的动力学行为，这些动力学行为包括：不动点的渐近稳定性，周期轨道，分支和混沌吸引子。在许多应用中，周期振荡解具有非常重要的实际意义，例如，人的大脑就是处于周期振荡或混沌状态。本文第四章利用重合度理论中Mawhin’s的连续延拓引理得到了一类n-维离散变时滞神经网络模型周期解存在性的充分条件；同时利用一些分析技巧得到了该模型周期解全局吸引的充分条件。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• §1.1 模型介绍
• §1.2 预备知识
• 第二章 一类Leslie-Gower捕食者-食饵模型的一致持续生存和正周期解的存在性
• §2.1 模型与假设
• §2.2 一致持续生存
• §2.3 正周期解的存在性
• 第三章 一类中立型脉冲时滞系统正周期解的存在性
• §3.1 模型、记号与假设
• §3.2 主要引理
• §3.3 正周期解的存在性
• 第四章 一类离散变时滞神经网络模型周期解的存在性和全局吸引性
• §4.1 模型、假设和引理
• §4.2 周期解的存在性
• §4.3 周期解的全局吸引性
• §4.4 应用
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 附录