变分不等式问题的组合松弛算法

论文摘要

变分不等式被广泛应用于工程力学、数学物理、经济数学、网络分析、控制论、优化理论等研究领域,在过去的几十年中已成为应用数学中备受关注的热点之一。本文主要结合Konnov提出的组合松弛算法思想,针对经典变分不等式、广义变分不等式、混合变分不等式和多值变分不等式问题的不同特点,给出了一系列有效算法。这些算法都包含一个辅助问题,通过此问题计算出分离当前迭代点和解集的超平面的参数,在主迭代中再把当前迭代点投影到此平面上。我们证明了如此产生的迭代序列可以满足Fej（?）r-单调。第二章针对有限维空间中的经典变分不等式问题给出了一个收敛性好,且容易实现的算法。同时把一类特殊的平衡问题转化为变分不等式问题,并根据其特点,提出了一个求解此问题的有效方法。在第三章中,我们针对非线性广义变分不等式问题,对辅助问题进行调整,考虑一个具有非空凸闭值的多值映射,证明了此映射存在不动点,而该不动点就是原问题的解。然后,证明了迭代序列强收敛到问题的一个解。第四章主要研究无穷维空间中的混合变分不等式和多值变分不等式问题的求解。在前面算法的基础上,我们提出了一个基于分裂型算法技巧的组合松弛方法。该方法使用了一个与局部Lipschitz常数有关的线性搜索,（这和前面步长搜索有所不同）,并采用了不同的参数选取方式。这些改变使得算法的收敛性证明比前面的更加复杂,但我们证明了此算法产生的迭代序列同样满足Fej（?）r-单调,并且弱收敛到原问题的一个解。此外我们还将此类算法和一些常见算法做出比较,证明了该类算法在条件稍强的情况下具有线性收敛率。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 变分不等式的背景及发展
• 1.2 变分不等式模型及基本概念与引理
• 1.3 变分不等式与平衡及优化问题的关系
• 第二章 经典变分不等式问题的迭代算法
• 2.1 基本概念及定义
• 2.2 变分不等式问题的迭代算法
• 2.2.1 基本假设
• 2.2.2 算法2.1
• 2.2.3 算法思想及来源
• 2.2.4 算法2.1的收敛性证明
• 2.3 一类特殊平衡问题的迭代算法
• 2.3.1 基本假设及算法设计思想
• 2.3.2 算法2.2
• 2.3.3 算法2.2的可行性及收敛性证明
• 第三章 非线性广义变分不等式的迭代算法
• 3.1 基本概念及引理
• 3.1.1 非线性广义变分不等式模型及来源
• 3.1.2 定义及引理
• 3.2 算法及收敛性
• 3.2.1 基本假设
• 3.2.2 辅助问题
• 3.2.3 算法3.1
• 3.2.4 算法3.1的收敛性证明
• 第四章 混合变分不等式及多值变分不等式的迭代算法
• 4.1 基本概念及引理
• 4.1.1 混合及多值变分不等式问题模型
• 4.1.2 定义及引理
• 4.2 混合变分不等式的迭代算法
• 4.2.1 基本假设
• 4.2.2 分裂型的组合松弛算法4.1
• 4.2.3 算法4.1的收敛性证明
• 4.2.4 算法对比
• 4.3 算法4.1的收敛率分析
• 4.4 多值变分不等式的迭代算法
• 4.4.1 算法思想与基本假设
• 4.4.2 算法4.2
• 4.4.3 算法4.2的收敛性证明
• 4.5 算法4.2收敛率分析
• 第五章 结论与展望
• 5.1 主要结论
• 5.2 研究展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间主要研究成果