论文摘要
Backlund变换是用瑞典几何学家Albert Victor Backlund的名字命名的,最初是他在研究三维欧氏空间中负常曲率曲面时发现的sine-Gordon方程之间的一个变换,其基本思想是将一个非线性偏微分方程的求解转化为两个相容的常微分方程的求解.随着可积系统理论的发展,Backlund变换已成为求解非线性偏微分方程的一种重要方法.双线性变换方法是由日本数学家Ryogo Hirota发明的,其基本思想是通过变换将一个非线性偏微分方程改写成双线性导数方程,并由双线性导数方程的解而得到原方程的解,其优点是并不需要所研究的非线性偏微分方程具有Lax对,因此可以用于许多不可积方程的研究.本文对于非等谱KP方程研究上述两个方面的问题.非等谱KP方程的双线性化形式为本文首先给出双线性导数的若干性质,这些性质在后面的定理证明中起着重要作用.其次研究非等谱KP方程与其双线性化方程之间的局部等价性,得到下面三个定理：定理1.若f（x,y,t）是双线性化非等谱KP方程的解,则u（x,y,t）=2（ln f）xx一定是非等谱KP方程的解.定理2.若u（x,y,t）是非等谱KP方程的解,则一定是双线性化非等谱KP方程的解,其中函数c（y,t）和r（y,t）满足某些条件.定理3.非等谱KP方程和双线性化非等谱KP方程局部等价.最后研究双线性化非等谱KP方程的Backlund变换,得到：定理4.设g是双线性化非等谱KP方程的一个解,则下列关于f的系统相容,并且f也是双线性化非等谱KP方程的解.由定理4,上述可积系统定义了从双线性化非等谱KP方程到其自身的一个Backlund变换.作为该Backlund变换的一个应用,本文从非等谱KP方程的平凡解出发构造了该方程的孤子解.
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