微积分方程的Legendre小波方法研究

论文摘要

小波分析在科学与工程计算中有重要作用,使得基于小波算法的微积分方程数值解法也得到广泛的发展和应用。在大多数实际问题中,所求解的问题都是定义在有限区间内,因此,区间小波引起了人们的重视。本文对微积分方程的区间小波方法进行了研究,得到一系列结果。主要完成了以下的工作：(1)给出了支撑区间为[0,1]的r重多分辨分析理论,并从该理论出发构造出L2([0,1])上的Legendre多小波基函数。该小波具有正交性,对称性,小支集性,以及小波函数的可计算性,较其它的多项式小波来说,既简单又有较高的求解精度,所以更适合于科学计算的应用需求。(2)研究了抛物型偏微分方程的Legendre小波方法。对于偏微分方程,首先,对时间进行差分离散,建立起关于空间变量的常微分方程,在对常微分方程的离散中,我们利用积分算子矩阵,对未知函数及其导数进行逼近,最后结合配点法得到方程的数值解。算法结构简单,克服了许多经典方法中由于计算量大,收敛速度慢等造成的计算困难。(3)对抛物型偏微分方程的Legendre多小波方法进行了研究。我们对一维非线性抛物型方程在尺度空间和小波空间中进行离散,将其转换为常微分方程,然后利用直接积分方法,将未知函数及其导数用Legendre多小波基及其积分形式进行表达,最后结合配点法进行求解。对于方程中的非线性项,采用二阶Taylor公式进行逼近,计算精度较高。最后对Burgers方程进行求解,实验结果表明小波逼近比尺度函数逼近有较高的求解精度,同时,多小波能将十分重要的正交性和对称性完美的结合,所以计算起来更加方便。(4)利用Legendre小波对第一类Fredholm积分方程进行求解,在求解过程中,采用自适应的方法对小波系数用阈值进行筛选,从而选取了“最好”的小波基函数进行求解。最后通过算例,表明该算法简单有效。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 本文研究的背景及意义
• 1.2 微积分方程小波数值解法研究进展
• 1.3 本文工作
• 2 小波及Legendre多小波的构造
• 2.1 Hilbert空间
• 2.2 小波基本理论
• 2.2.1 连续小波变换及离散小波变换
• 2.2.2 多分辨分析
• 2.3 多重多分辨分析理论
• 2.4 Legendre多小波
• 2.4.1 Legendre多项式
• 2.4.2 Legendre小波尺度函数
• 2.5 Legendre多小波基的构造
• 2.6 本章小结
• 3 一维抛物型方程的Legendre小波方法
• 3.1 引言
• 3.2 Legendre小波积分矩阵
• 3.3 Legendre小波配点法离散格式
• 3.4 数值算例及结果分析
• 3.5 本章小结
• 4 一维抛物型方程的Legendre多小波方法
• 4.1 引言
• 4.2 抛物型方程的Legendre多小波方法
• 4.3 数值算例及结果分析
• 4.4 本章小结
• 5 积分方程的Legendre多小波自适应解法
• 5.1 引言
• 5.2 小波自适应网络及非线性逼近
• 5.3 积分方程的Legendre多小波方法
• 5.4 数值算例
• 5.5 本章小结
• 6 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录