线性模型影响分析的若干研究

论文摘要

线性模型是现代统计学中应用最为广泛的模型之一,可以应用到生物,医学,经济,管理,气象等很多领域。在对线性模型的研究与应用中,我们需要考察线性模型假设条件的合理性及数据对统计推断影响的大小,这就是“统计诊断”。影响分析是统计诊断研究中的重要内容,主要探查和检测对统计推断有较大影响的试验数据——影响点。而由于数据样本中往往存在多个互相作用的影响点,现有的一些检测影响点的方法往往存在着探查不准确,或者探查不全,算法速度慢等缺陷。同时,多个影响点会对彼此产生掩盖效应,这种效应会使有些方法无法检测出正确的影响点。本文在文献已有研究的基础上,主要研究线性模型影响分析中的影响度量与掩盖效应,并结合线性模型中应用广泛的有偏估计——岭估计来讨论影响分析的相关理论。矩阵是研究线性模型相关理论必不可少的工具。论文第三章给出了矩阵理论学习中的一些研究进展。讨论了泛正定矩阵的性质与判定条件。进而提出了新的泛正定子集类的定义并研究它的一系列性质,并且推广了Minkowski不等式。同时讨论了一种新的矩阵偏序的性质与充要条件。论文第四章,基于线性回归模型提出了一种杠杆度量矩阵,该度量具有良好的性质及鲜明的几何意义与统计意义。在此基础上,相应地研究了岭估计的杠杆度量矩阵,提出该度量较现有文献更加简单,并在权扰动下对度量进行了比较。论文第五章,提出岭估计传统高杠杆点度量的典则形式,从典则形式角度分析了岭参数对岭估计高杠杆点度量的影响,并给出了理论证明和实际数据检验。论文第六章,对线性回归模型讨论了子集杠杆值度量与子集残差值度量的掩盖效应。给出子集杠杆值与子集残差值的联合掩盖与条件掩盖效应在实质上是等价的结论。我们的结论指出,在实际中,杠杆值一定存在掩盖效应,残差值掩盖效应的存在需满足一定的条件。论文第七章,给出一种在岭估计下检测多个高杠杆点的度量——岭估计的多重势。并以第六章提出的子集杠杆值度量为基础,研究岭估计下子集杠杆值的掩盖效应,给出其存在条件。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 线性模型影响分析概述
• 1.1.1 总体影响分析
• 1.1.2 局部影响分析
• 1.1.3 掩盖效应
• 1.1.4 岭估计及有偏估计的影响分析
• 1.2 本文主要工作
• 2 预备知识
• 2.1 线性模型参数估计
• 2.1.1 线性回归模型与最小二乘估计
• 2.1.2 复共线性与岭估计
• 2.2 矩阵论预备知识
• 3 泛正定矩阵的进一步研究
• 3.1 引言
• 3.2 泛正定矩阵的充要条件和性质
• 3.3 泛正定矩阵子集类的性质和行列式不等式
• 3.4 泛非负定矩阵子集类上的偏序
• 4 线性模型影响分析中的高杠杆点度量
• 4.1 引言
• 4.2 最小二乘估计下的高杠杆点度量
• 4.3 岭估计下的高杠杆点度量
• 4.4 权扰动时的高杠杆影响程度比较
• 4.5 结论
• 5 岭参数对岭估计高杠杆点度量的影响
• 5.1 引言
• 5.2 岭估计高杠杆点度量的典则形式
• 5.3 岭参数对高杠杆点集合的影响
• 5.4 例子
• 5.5 结论
• 6 子集杠杆值与子集残差值的掩盖效应
• 6.1 引言
• 6.2 子集残差值与子集杠杆值
• 6.2.1 子集杠杆值
• 6.2.2 子集残差值
• 6.3 子集杠杆值的掩盖效应
• 6.3.1 子集杠杆值的联合掩盖效应
• 6.3.2 子集杠杆值的条件掩盖效应
• 6.4 子集残差值的掩盖效应
• 6.4.1 子集残差值的联合掩盖效应
• 6.4.2 残差值的条件掩盖效应
• 6.5 结论
• 7 岭估计中的多重势与掩盖效应
• 7.1 引言
• 7.2 岭估计的最小二乘形式与帽子矩阵
• 7.3 岭估计下的多重势
• 7.4 岭估计中子集杠杆值的掩盖效应
• 7.4.1 联合掩盖度量与条件掩盖度量
• 7.4.2 掩盖效应的存在条件
• 7.5 定理证明
• 7.5.1 定理7.1 的证明
• 7.5.2 定理7.2 的证明
• 7.5.3 定理7.3 的证明
• 8 结论
• 致谢
• 参考文献
• 附录