论文摘要
本学位论文在理解矩阵体积概念的基础上,进一步研究矩阵体积的有关性质及其应用,从而使矩阵体积的应用更加广泛.首先从三个方面探讨矩阵体积的性质.第一,从矩阵运算的角度考虑,得出两个矩阵乘积的体积与两个矩阵体积的乘积的大小关系(定理2.1.4)、矩阵体积与矩阵张量积的一个关系式(定理2.2.3)、矩阵体积与矩阵广义逆的一个关系式(定理2.3.2)；第二,从矩阵初等变换的角度考虑,得出互换变换不改变矩阵的体积(定理3.1.1),倍法变换与消法变换会改变矩阵的体积(定理3.2.1,定理3.3.1)；第三,从矩阵标准型的角度考虑,得出正交变换保持矩阵的体积不变(定理4.1.4,定理4.1.5),并举例说明合同、相似、相抵变换却不能保持矩阵的体积不变.其次研究矩阵体积的两个应用.利用矩阵体积证明了正交矩阵的一个新判定(定理5.1.1)；并给出一般线性方程组AX=β解的存在性的一个充要条件(定理5.2.3).接着把实矩阵体积的概念推广到复数域上,定义了复矩阵体积的概念,并证明复矩阵体积有关的性质,再利用复矩阵体积的概念给出酉矩阵的一个新判定(定理6.2.2).最后给出矩阵体积的算法框图与算法程序.
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