论文摘要
数学认识论涉及哲学上的思维与存在的关系。由于数学的研究对象是事物的抽象的量的规定性,抽象地存在于具体事物之中,不能为感官所感觉,只能为思维所把握。数学对象的这种抽象性和特殊性就决定了要用与自然科学不同的认识方法:演绎法,正是它的这种方法的特殊性就导致了认识论的一些争论:数学的性质是什么?数学是演绎科学还是经验科学?抑或是先天科学呢?这成了数学哲学中的一个基本问题。康德在《纯粹理性批判》一文中曾断言:数学命题都是先天综合判断,几何公理是先验起源的;其空间理论也主张:不仅经验空间是欧氏平面空间且基于欧氏证明之上,而且我们可以先验地知道物理空间和物理对象也都是由欧氏几何明确地描述的。作为著名的生理学家和物理学家,赫尔姆霍茨在向康德的这个观点发出了挑战,他反对先验论支持经验论。赫氏将运动概念作为基本的概念引入了深奥的公理系统,用合理的数学实验(思想实验)以及丰富的想象能力发展了非欧几何,使之成为一门成熟的数学学科。赫氏证明出:因为如果我们是生活在非欧几何空间里,那么我们也能够很好的想象出我们的知觉经验会是什么,康德把一种特殊的欧氏几何当作了我们空间直观或知觉的必然形式,这是一种简单的错误。新的非欧几何不仅在逻辑上是可能的,而且在知觉或是直观上也是可能的。空间直观的必然形式是对各种几何来说都是共同的更一般的结构;这种结构不仅可被特殊的欧几里德公理描述,还可以被更一般的能允许刚性物体进行随意连续运动的“自由运动”原理描述。从非欧几何的存在以及能够进行测量这个事实就会得出这个结论:物理空间是非欧几何空间,物理空间的结构问题是经验性研究的问题。赫氏的知觉发生及形成原理表明:空间不仅仅是一种先验直观形式,还可以通过触摸及视阈的获得而被“直观”到,几何公理系统应该根据生物生活的空间类型不同而不同,其起源是经验性的。各种先验的纯几何学系统本身是缺乏经验内容的,只有将某种力学原理与几何公理相结合,才会得到一个有实在性质、能被经验观察所证实或推翻的几何系统,才能产生经验上有意义的命题。非欧几何的出现改变了数学的传统观念:即几何的研究对象不只是普通的现实空间(欧氏空间)中的形式及其关系,也可以是其他的与此相类似的可能的形式及其关系。赫尔姆霍茨的数学哲学思想表明了他的经验主义哲学思想。
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