连分式与Klein群

论文摘要

众所周知,任何一个连分式均可视为M（?）bius变换序列的复合,从而说明复分析中的这两个研究领域是密切相关的.上个世纪,由于Jones、Thron、Lisa、Andrews、Berndt等的大量研究工作,使得连分式理论得到了进一步完善,并且被广泛应用于超越函数、控制论、逼近论、动力系统、q-级数等方面.Andrews和Berndt等在整理Ramanujan手稿时,结合手稿中关于连分式的内容开展了大量与之相关的研究.近些年来,Beardon利用Ahlfors倡导的高维M（?）bius变换的Clifford矩阵表示,开创性地开始了Clifford连分式（即高维连分式）的研究,取得了许多有趣而又重要的结果,如已把经典连分式中著名的Pringsheim定理、Hillam-Thron定理、Parabola定理等推广到了高维情形,为Clifford连分式的进一步研究奠定了基础;并且还提出了几个相关公开问题.Clifford矩阵与二维M（?）bius变换的表示矩阵具有相同的形式,所以,高维M（?）bius变换的Clifford矩阵表示为高维M（?）bius变换及群性质的研究提供了一些可借鉴的方法.这些重要又极具意义的研究,激发了人们对连分式及高维M（?）bius变换和群研究的兴趣.我们的研究将集中在这些方面,主要目的是讨论Beardon关于Clifford连分式的公开问题;研究广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式;讨论高维Klein群正规化子的离散性.全文的安排如下:在第一章中,我们主要介绍研究问题的背景和我们得到的主要结果及意义.在第二章中,我们主要介绍关于连分式、高维M（?）bius变换、Clifford代数、Clifford矩阵、Clifford连分式、Rogers-Ramanujan连分式以及广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式的一些基本知识.在第三章中,我们给出了Clifford连分式的值域与元素域的定义.通过构造值域与元素域序列,我们将经典连分式中的域套定理推广到了Clifford连分式中.作为所得结果的应用,我们得到了一类收敛的Clifford连分式.在第四章中,我们建立了Clifford连分式的三项递推公式,并利用它给出了Clifford连分式的Stern-Stolz定理;之后我们给出了Clifford连分式的Pinchele定理;最后,我们得到了关于Clifford连分式最小解的三条性质.在第五章中,我们得到了Clifford连分式收敛的一个充分条件.作为应用,我们构造了两个收敛的Clifford连分式.在第六章中,我们讨论了广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式的收敛性;给出了广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式与q-级数之间的一些关系等式.在第七章中,我们证得了高维Klein群的正规化子还是Klein群的一个充要条件.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 基本概念及性质
• 2.1 连分式
• 2.2 高维M（o|¨）bius变换
• 2.3 Clifford代数
• 2.4 Clifford连分式
• 2.5 Rogers-Ramanujan连分式
• 第三章 Clifford连分式的值域与元素域
• 3.1 引言
• 3.2 值域与元素域的定义及性质
• 3.3 主要结果及其证明
• 3.4 应用
• 第四章 Clifford连分式中的三项递推公式与Pincherle定理
• 4.1 引言
• 4.2 三项递推公式
• 4.3 Pincherle定理和它的一个应用
• 4.4 最小解的性质
• 第五章 Clifford连分式收敛的一个充分条件
• 5.1 引言
• 5.2 主要结果及其证明
• 5.3 应用
• 第六章 连分式中的一些等式
• 6.1 引言
• 6.2 广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式
• 6.3 关于广义意义下的Rogers-Ramanujan型连分式的一些等式
• 6.4 其它的一些等式
• 第七章 高维Klein群正规化子的离散性
• 7.1 引言
• 7.2 主要结果及证明
• 结束语
• 参考文献
• 攻读博士学位期间完成的论文
• 致谢