论文摘要
设L=(lij)v×v,M=(mij)v×v是两个v阶拉丁方,若矩阵((lij,mij))v×v中的v2个元素偶(lij,mij)（0≤j,j≤v-1）都互不相同,则称L与M正交,或L与M是互相正交的拉丁方.正交拉丁方理论是组合设计理论中的重要组成部分,有着丰富的研究成果.在一对v阶正交拉丁方中L和M中,如果M是L的转置,则我们称L是自正交的并记为SOLS（v）.如果一个v阶自正交拉丁方（SOLS）有ni（1≤i≤k）个子-SOLS,它们互不相交且是生成的（即（?）nihi=v）,就称这个自正交拉丁方为frameSOLS,记作FSOLS(h1n1h2n2…hknk).2002年,徐允庆、美国Iowa大学的H.Zhang教授和苏州大学的朱烈教授完全解决了FSOLS（hnu1）的构造问题,得到下面的结论:设h,n和u是正整数且h≠u,（h,n,u）≠（1,6,2）,则当且仅当n≥4和n≥1+2u/h时,FSOLS（hnu1）存在,可能的例外型为:（h,n,u）∈{（t+2,6,（5h-1）/2）,（t,14,（13h-1）/2）,（t,18,（17h-1）/2）,（t,22,（21h-1）/2）:t是奇数}.在本论文中,我们进一步讨论型更为一般（即型为hnum）的frame自正交拉丁方的存在性问题.因为不存在SOLS（2）,所以2num型需单独讨论,本文主要讨论u为偶数时2num型的存在性问题.由于m/2＞1时不能应用Starter adder直接构造法,又不存在FSOLS（u2）,所以2nu2型是最难解决的.因此本论文先讨论m-2的情况,进而讨论m≥3的情况.另外,作为u为奇数的一种情况,本论文还讨论了FSOLS（2n154）的存在性结果,全文分为五章.第一章在这一章中,我们介绍FSOLS问题的背景和研究发展过程,并引入与FSOLS相关的一些已有的结果.第二章在这一章中,我们给出与FSOLS相关的一些基本概念,以及FSOLS的基本递推方法,包括填洞构造法,膨胀构造法和加权构造法.第三章在这一章中,我们证明FSOLS（2nu2）（u为偶数）存在性的一些结论,主要使用的是膨胀构造法和填洞构造法.第四章在这一章中,我们证明FSOLS（2num）（m≥3）的存在性的一些结论,主要利用第三章的结论及填洞构造法和加权构造法.第五章在这一章中,我们证明FSOLS（2n154）的存在性的一些结论,方法与第四章类似.