非线性椭圆型方程的存在性问题与定性分析

论文摘要

本文研究了几类非线性椭圆型方程解的存在性及定性性质：多重解的存在性、解的径向特性、解的先验估计、解的渐近行为、类似于K-W条件的恒等式、得到了一些有意义的结果：1.用极小极大方法结合Morse理论研究具有渐近线性非线性项的双调和方程非平凡解的存在性,得到了该问题至少有三个非平凡解的存在性结果.2.用极小极大方法研究一类具有混合非线性项的p-Laplacian方程非平凡解的存在性,得到了该问题志少有一个非平凡解的存在性结果.3.利用对称型山路引理讨论了具有扰动项的四阶椭圆方程多重解的存在性,得到了该问题有任意有限对非平凡解的存在性结果.4.使用McOwen的方法研究了一类场方程具有正的或负的全局曲率的弱解的存在性.5.使用积分不等式、标准的椭圆估计及移动平面的方法对—类预定Q曲率的四阶椭圆方程的解做先验估计、渐近分析并进行分类.6.使用积分不等式,标准的椭圆估计及爆破分析的方法对一类Toda系统的解做先验估计、渐近分析并讨论其解的收敛.在本文的最后给出主要的研究结论和今后的研究工作.本文的创新与特色是：（1）在研究对象上,主要研究了具有实际应用物理及几何背景的非线性椭圆型方程（方程组）.（2）在方法上,我们成功地使用了Morse理论与极小极大相结合的方法,移动平面的方法等.（3）在内容上,我们讨论了几类非线性椭圆方程非平凡解的存在性,并分析了一类特殊椭圆型方程（系统）解的定性性质.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 研究背景与课题意义
• §1.1.1 极小极大方法
• §1.1.2 移动平面方法
• §1.2 主要成果和内容组织
• 第二章 几类非线性椭圆方程非平凡解的存在性
• §2.1 具有渐近线性非线性项的双调和方程的多重解
• §2.1.1 研究现状
• §2.1.2 主要结果与引理
• §2.1.3 主要结果的证明
• §2.2 一类p拉普拉斯Dirichlet问题的非平凡解
• §2.2.1 研究现状
• §2.2.2 主要结果与引理
• §2.2.3 主要结果的证明
• §2.3 四阶椭圆边值问题的摄动
• §2.3.1 研究现状
• §2.3.2 预备与主要结果
• §2.3.3 主要结果的证明
• 2中具有有限全局曲率的Gaussian曲率的共形度量'>§2.4 描述R²中具有有限全局曲率的Gaussian曲率的共形度量
• §2.4.1 研究现状与主要结果
• §2.4.2 主要结果的证明
• 第三章 四阶椭圆方程及椭圆系统解的先验估计和渐近分析
• §3.1 四阶椭圆方程解的先验估计及渐近分析
• §3.1.1 研究现状
• §3.1.2 一个单解的先验界估计
• 2u=Q（x）e^4u的解的渐近行为'>§3.1.3 △²u=Q（x）e^4u的解的渐近行为
• §3.2 关于广义二阶Toda系统的一个注记
• §3.2.1 研究现状
• §3.2.2 Toda系统解的先验估计及其收敛
• §3.2.3 Toda系统解的渐近行为
• 总结与展望
• 参考文献
• 攻读博士期间主要文章列表
• 致谢