论文摘要
奇异微分方程源于工程学、物理学中的许多实际问题。数值求解该类方程具有重大的现实价值。目前,众多计算数学工作者致力于有限差分方法、传统的标准有限元方法、谱方法等数值方法的研究。但差分方法不能处理复杂区域问题,传统有限元方法在处理间断问题时又力不从心。为了克服上述困难,本文利用时空有限元方法讨论具有奇异系数的微分方程。时空有限元方法统一时间和空间变量,在时间和空间两个方向同时发挥有限元方法的优势,实现时、空两个方向的高精度。同时,时空有限元方法还具有高度的自适应性,更适合处理复杂的间断和奇异问题。本文利用该方法研究了奇异线性和半线性抛物问题,给出有限元解的存在唯一性证明和理论误差估计,并给出数值模拟结果对所得理论进行验证。 文章的第一部分研究奇异线性抛物问题。第一章利用Lions定理证明了线性问题广义解的存在性。第二章给出了连续时空有限元方法数值解的理论误差分析,得到加权H~1模和加权L~2模的最佳收敛逼近性质。论文的第二部分考虑半线性奇异抛物方程的初、边值问题,证明了广义解的存在性,并于第四章给出了时间间断而空间连续的时空有限元解的加权H~1半模逼近结果,同时还得到了跳跃项的加权L~2模估计。文章的最后部分是数值模拟结果,给出了针对右端非线性的奇异系数抛物方程,和向前一向后热传导方程的(加权)L~2模和(加权)H~1半模下的误差及收敛阶。
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