一类非线性色散波方程的边界控制

论文摘要

本文主要研究了一类非线性色散波方程的边界控制问题和在满足一定的边界条件下满足指数稳定估计。边界控制是分布参数受控形式的一种,它一直受到控制理论界的重视而得到不断深入地研究和发展。近几年来,有关Burgers方程、KdV方程、KdVB方程以及K-S方程边界控制方面的研究已取得了很多成果。本文研究了一类非线性色散波方程:粘性Fornberg-Whitham方程、粘性广义Camassa-Holm方程和修正的粘性b族方程。Fornberg-Whitham方程是不可积的,它的扭波解和反扭波解最近被研究。Camassa和Holm利用哈密顿方法获得了一类新型色散波方程,叫Camassa-Holm方程（简称CH方程）,它具有双哈密顿结构和无穷多守恒量,是完全可积的。b族方程是一类方程,如当b=2时,它便是Camassa-Holm方程。本文主要研究了上述三个方程的边界控制问题。首先,运用伽辽金方法证明了这三个方程在一个很短的时间区域内弱解的存在性和唯一性。其次,利用泛函分析、能量积分、偏微分方程理论以及Sobolev空间的相关理论和一些不等式估计证明了解在所给的边界条件下L2,H1,H2,H3全局指数稳定性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 国内外研究现状和进展
• 1.3 研究内容和研究意义
• 第二章 预备知识
• 2.1 稳定性
• 2.1.1 平衡状态
• 2.1.2 稳定性
• 2.2 函数空间
• 2.2.1 有界线性算子
• 2.2.2 Hilbert空间和它的对偶空间
• 2.2.3 对偶算子
• 2.2.4 典型的函数空间
• 2.2.5 Lebesgue空间
• 2.2.6 Sobolev空间
• 2.3 相关分析理论
• 2.3.1 不等式
• 2.3.2 分部积分理论
• 2.3.3 控制收敛理论
• 2.4 嵌入结果
• 第三章 粘性Fornberg-Whitham方程的边界控制
• 3.1 引言
• 3.2 符号
• 3.3 弱解的定义
• 3.4 弱解的存在性和指数稳定性
• 3.5 本章小结
• 第四章 粘性广义Camassa-Holm方程的边界控制
• 4.1 引言
• 4.2 符号
• 4.3 弱解的定义
• 4.4 弱解存在性和指数稳定性
• 4.5 本章小结
• 第五章 修正的粘性b族方程的边界控制
• 5.1 引言
• 5.2 符号
• 5.3 弱解的定义
• 5.4 弱解的存在性和稳定性
• 5.5 本章小结
• 第六章 结论
• 6.1 工作总结
• 6.2 本课题展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表论文