求解非线性方程组问题的一种混合线性搜索拟牛顿法

论文摘要

拟Newton法是求解非线性方程组问题的一类有效的算法,线性搜索是保证拟Newton法全局收敛的一种重要途径.单调线性搜索可使得算法产生的模函数函值序列具有单调递减性,但一般需要较多的试探步才能获得步长,而且有时所获得的步长会很小.非单调线性搜索拟Newton法可减少线性搜索试验步,并可获得较大的步长,但所得的函数值模序列不一定是下降的.由于求解非线性方程组的拟Newton方向通常不是方程组模函数的下降方向,因此,尚未见有适定的单调线性搜索.另一方面,求解非线性方程组的拟Newton法的非单调线性搜索研究取得了重要成果.采用不同非单调线性搜索的Broyden秩1算法可具有全局收敛性和超线性收敛性.本文进一步研究求解非线性方程组的线性搜索方式.我们提出一种混合型线性搜索.该线性搜索的一个重要性质是：当拟Newton方向的下降性得到保证而且可获得较大步长时,我们采用单调线性搜索,否则采用非单调线性搜索.由于求解非线性方程组的拟Newton法是一种无导数算法,因此需要在不计算模函数导数的前提下判断方向的下降性.我们结合线性搜索和有限差商提出了一种判断拟Newton方向是否为下降方向的无导数判断准则.在适当的条件下,我们证明采用该混合型线性搜索的Broyden秩1算法具有全局收敛性和超线性收敛性.最后,我们通过数值试验对本文提出的混合线性搜索进行检验,并将采用本文线性搜索的Broyden秩1算法与已有的采用其他线性搜索的Broyden秩1算法进行数值比较,结果表明,本文的线性搜索非常有效.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 非线性方程组的牛顿法与拟牛顿法
• 1.2 线性搜索
• 1.3 本文的主要工作以及各章节安排
• 第2章 求解非线性方程组问题的拟牛顿法
• 2.1 求解对称非线性方程组的拟牛顿法
• 2.2 求解单调非线性方程组的拟牛顿法
• 2.3 求解一般非线性方程组的拟牛顿法
• 2.3.1 单调线性搜索拟牛顿法
• 2.3.2 非单调线性搜索拟牛顿法
• 第3章 混合线性搜索拟牛顿法
• 3.1 算法
• 3.2 全局收敛性
• 第4章 数值实验及结果分析
• 结论
• 参考文献
• 致谢