对E.Borel在函数论的几个工作研究

论文摘要

E.Borel是对20世纪函数理论发展有重要影响的一位法国数学家。他的数学研究领域很宽,在数论、函数论、概率论以及它们在力学、统计学中的应用方面都有论著。本文仅限于Borel在函数理论五个方面“函数逼近理论”、“发散级数可和理论”、“函数奇点理论”、“测度理论”、“解析开拓理论”的工作进行探讨。在前人工作基础上,利用历史分析、比较研究的手法,基于原始文献,得到以下研究成果。 一、指出Borel提出其插值公式的思想与他利用插值方法研究整函数零点理论有关。其插值公式虽没有给出具体运算式,但在理论分析中意义较大,探讨了他的插值思想对M.Potron、J.W.Young、M.Frechet、L.Kantorovitch等人的影响。 二、19世纪末20世纪初是发散级数可和理论的繁荣期。数学家利用不同的可和技巧提出各自可和方法,其中以E.Cesaro的算术均值法和Borel的指数和积分可和法较为突出。深入分析了Borel提出可和方法的思想背景、思想演变过程,论述了他的可和思想在函数解析开拓、微分方程等方面的影响。 三、利用Taylor展开研究函数奇点是函数解析开拓理论研究的重要课题。探讨了Borel研究函数奇点的方法“关联整函数法”。对“函数奇点乘法的Hadamard定理”和“Taylor展开一般以收敛圆为割线”问题进行了深入研究,探讨了其思想的演变过程及重要影响。 四、较为全面地探讨了Borel在测度理论方面的工作。指出他的测度思想来源于函数解析开拓理论。Borel以零测集思想为指导,利用构造性方法给出了与Lebesgue不同的积分理论,对F.Riesz、A.haar等人的积分理论产生了一定影响。 五、函数解析和单演是复变量函数理论中最为重要的两个概念,因此考察这两个概念的历史演变对了解复变量函数理论的发展有重要意义。从Borel关于级数∑An/z-an的研究出发,探讨了他关于函数单演和半解析理论的思想演变过程及对J.Wolff、T.Carleman、A.Denjoy等人影响。

论文目录

• 引言
• 第一章 Borel关于Lagrange插值公式改进方法的研究
• 1.1 改进Lagrange插值公式的思想背景
• 1.2 对Lagrange插值公式的改进
• 1.3 Borel插值思想在当时及以后的重要影响
• 第二章 Borel关于发散级数可和问题的研究
• 2.1 19世纪末关于发散级数可和问题的早期研究
• 2.2 Borel对发散级数可和问题的研究
• 2.2.1 Borel的可和方法
• 2.2.2 对其级数可和法基本性质的研究
• 2.3 Borel可和思想的影响及重要意义
• 2.3.1 可和思想在解析开拓中的意义和影响
• 2.3.2 可和思想在微分方程中的意义和影响
• 第三章 Borel利用TAylor展开关于函数奇点问题的研究
• 3.1 利用Taylor展开研究函数奇点问题的思想背
• 3.2 利用关联整函数法对函数奇点和解析开拓问题的研究
• 3.3 对函数奇点乘法的Hadamard定理的研究
• 3.4 对Taylor展开一般以收敛圆为割线问题的深入探讨
• 第四章 Borel关于测度理论问题的研究
• 4.1 Borel测度思想的历史背景
• 4.2 对测度问题的研究
• 4.3 对零测集问题的研究
• 4.4 对积分理论问题的研究
• n/（z-a_n）） 的研究'>第五章 Borel关于有理分式级数Σ（A_n/（z-a_n）） 的研究
• n/（z-a_n））的早期研究'>5.1 关于简单有理分式级数Σ（A_n/（z-a_n））的早期研究
• n/（z-a_n））只以给定线为割线的研究'>5.1.1 对级数Σ（A_n/（z-a_n））只以给定线为割线的研究
• n/（z-a_n））的和函数和其导数在给定割线上连续的研究'>5.1.2 对Σ（A_n/（z-a_n））的和函数和其导数在给定割线上连续的研究
• n/（z-a_n））的研究'>5.2 Borel关于级数Σ（A_n/（z-a_n））的研究
• 5.3 对单值单演函数的研究
• 5.4 对W域上的半解析函数的研究
• 结语
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 后记