关于非线性抛物方程（组）解的性质的研究

论文摘要

非线性抛物方程（组）涉及的大量问题来自于物理、化学、生物和经济等领域的数学模型,具有强烈的实际背景;另一方面,在非线性抛物方程（组）的研究中,对数学也提出了许多挑战性的问题。因此,关于非线性抛物方程（组）解的整体存在与爆破等问题的研究已成为非线性偏微分方程理论研究中的一个重要方向。本文主要研究几类非线性抛物方程（组）初值或初边值问题解的定性性质:解的整体存在和有限时刻爆破,整体解的渐近行为,爆破解的生命区间等。本文主要内容安排如下。第一章考虑一类退化抛物方程ut = up u + uq的柯西问题。通过构造一类退化抛物方程的自模解,利用上下解方法和凸方法,得到了该问题的一个第二临界指数。具体地,设q > p + 1 + N2,a = q?p2?2,则当a∈（0,a）,u0∈Φa时,问题的解在有限时刻爆破;当a∈（a,N）,u0 =λφ,φ∈Φa时,问题的解整体存在。第二章是第一章所讨论方程的继续。进一步研究退化抛物方程ut =up u + uq初始函数在无穷远处具有某种衰减的柯西问题,利用凸方法、常微分方程和构造特殊函数方法,研究了解的生命区间估计和大时间渐近行为。第三章我们考虑一类具有齐次Dirichlet边界条件的退化抛物方程组ut =ul + up1vq1,vt = vm + up2vq2初边值问题,证明了该方程组解的整体存在及在有限时间发生爆破与初始值、区域Ω的大小和p2q2 - （l - p1）（m - q2）的符号有关。第四章我们考虑带有非局部源项的半线性抛物方程ut ? ?u = uq 0t up（s）ds的初边值问题问题。在运用有关局部可解性和比较原理的基础上,通过构造一个特殊的整体上解,证明了初值充分小时,解是整体存在的。同时,我们还考

论文目录

• 摘要
• 英文摘要
• 引言
• 第一章 一类退化抛物方程的第二临界指数
• 1.1 问题背景
• 1.2 预备知识
• 1.3 爆破
• 1.4 整体存在
• 第二章 一类退化抛物方程的生命区间和大时间渐近行为
• 2.1 初值不衰减时的生命区间的估计
• 2.2 初值衰减时的生命区间的估计
• 2.3 大时间渐近行为
• 第三章有界区域上一类退化抛物方程组的整体存在性与爆破
• 3.1 问题的提出
• 3.2 一些辅助命题
• 3.3 整体存在
• 3.4 爆破结果
• 第四章带有梯度项和非局部项的非线性抛物方程解的梯度爆破和整体存在性
• 4.1 问题的提出
• 4.2 一些引理
• 4.3 定理4.1.2，4.1.3，4.1.4 的证明
• 创新点
• 参考文献
• 作者攻博期间发表学术论文及其他成果
• 致谢