论文摘要
众所周知，Littlewood-Paley g函数在调和分析中是极为重要的工具，与Littlewood-Paley g函数相关的高维空间的Marcinkiewicz积分由E．Stein[14]引进的。μΩ=（integral from n=0 to∞（FΩf（t，x））2dt／t）1／2。其中FΩf（t，x）1／t integral from |y|≤yf（x-y）Ω（y′）／|y|n-1dy，Ω∈L1(Sn-1)零次齐次函数，且满足消失性条件integral from n=Sn-1Ω（y′）dσ（y′）=0。近五十年里，对Marcinkiewicz积分的研究已经相当深入。在论文里，对于一类含参带粗糙核的Marcinkiewicz积分：μΩ，ψp=(integral from n=0 to∞(FΩ，ψpf（t，x）)2dt／t)1／2其中FΩ，ψρf（t，x）=1／tρintegral from n=|y|≤t f（x-Ψ（|y|）y′）Ω（y′）／|y|n-pdy，p=σ+iT（σ，T∈R，σ＞0），Ω∈L1(Sn-1)，零次齐次函数，且满足消失性条件integral from n=Sn-1Ω（y′）dσ（y′）=0，我们建立一类加权不等式。应用得到的加权不等式，我们得到了Marcinkiewicz积分的向量值不等式。我们的结果如下：定理：设ψ∈C2（[0，∞）)，ψ（0）=0且为单调增的凸函数。如果对于某个q＞1，Ω∈Lq(Sn-1)，则存在与f无关的常数C＞0，使得‖μΩ，ψρ（f）‖Lp（ω）≤C‖f‖(Lp(MsMs|（?）|ω（ω∈A1，1＜p＜∞）s为任何大于1的正数。|（?）|为与Ω有关的测度，下文将给出定义。而Ms=（M（|f|s））1／s，Ms|（?）|≡M|（?）|（|f|s）1／s。推论：ψ，Ω满足定理条件，则有以下向量值不等式成立‖(sum from n=j (μΩ，ψρ)（fj）)p)1／p‖q≤C‖（sum from n=j |fj|p）1／p（1＜p≤q＜∞）定义：设ψ∈C1（R+），Ω定义在Sn-1上，对适当的函数f，定义一族测度{σt：t∈R+}，及相应的极大算子M|σ|如下。integral from n=Rnfdσt=1／tρintegral from n=1／2t≤|y|≤t f（Ψ（|y|）y′）Ω（y′）／|y|n-ρdyM|σ|（f）=（?）|σt|*|f（x）||σt|定义方式与σt相同，将Ω换成|Ω|。有了测度σt，可定义（?）t，integral from n=Rnf（x）d（?）t=integral from n=Rnf（-x）dσt。相应的M|（?）|亦可定义。第一章，回顾Marcinkiewicz积分的定义以及相关研究进展。并给出主要结果。第二章，给出证明主要结果所需的关键引理。第三章，证明了主要结果。