论文摘要
谱图理论主要研究图的谱性质和图的结构性质之间的关系，期望通过谱性质来刻画结构性质。图的谱扰动和Laplace整图是谱图理论的重要研究课题。其研究目的是通过谱扰动和特征值的整性来反映图的结构性质。本文主要研究两个问题：(1)图的谱整变化，即图在添加一条边后Laplace谱发生整数的扰动，(2)Laplace整图，即Laplace特征值全为整数的图。本文的组织结构为：第一章首先介绍谱图理论，谱扰动和Laplace整图的研究背景，其次介绍常用的概念和术语；第二章讨论了树的谱整变化；第三章讨论了恰有三个不同特征值的Laplacc整图。Fan在2002年提出谱整变化的概念，期望通过谱整变化构造Laplace整图。之后，Kirkland(2004年)，Pati等人(2005年)对谱整变化展开研究，获得了一些有意义的结论．本文的第二章对于树的谱整变化进行了深入的讨论，并给出了完全的刻画．同时，该章还讨论了代数连通度发生改变的谱整变化问题，并解决了树发生在两处谱整变化且恰有一处为代数连通度的情形。Mcrris在1994年证明了度极大图为Laplace整图。Fallat和Kirkland等人在2005年讨论了Laplace整图的一种极端情形，即所有特征值皆不同的Laplace整图。本文的第三章考虑了Laplace整图的另一种极端情形，即恰有三个不同特征值的Laplace整图，给出了该问题若干情形的刻画。
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