带拟周期强迫项的非线性波动方程的拟周期解

论文摘要

在无穷维哈密顿系统的有限维不变环的存在性方面,比如非线性哈密顿偏微分方程的有限维不变环的存在性,已经取得了丰富的成果。目前主要有两种方法用于研究非线性偏微分方程的周期解和拟周期解。第一种方法是Craig-Wayne-Bourgain法,它是由Liapunov-Schmidt约化和牛顿迭代格式发展而来的。第二种方法是无穷维KAM理论,它是由经典KAM理论发展而来的。上世纪五、六十年代由三位著名数学家Kolmogorov[35],Arnold[1]和Moser[49]建立起来的经典KAM理论是哈密顿系统理论发展的里程碑,具有划时代意义,它使太阳系的稳定性得到合理的解释,并使人们能够以一种新的方法来研究哈密顿系统。建立在2n维光滑辛流形上的经典KAM理论断言,在Kolmogorov非退化性条件下,可积系统的大多数非共振不变环面在小的摄动下保持下来。上世纪九十年代经典的KAM理论被Wayne[64]和Kuksin[36]推广到无穷维哈密顿系统,所谓无穷维哈密顿系统指的就是具有无穷多个自由度的哈密顿系统。后来,Poschel[57]对其进行了重新叙述。从某种意义上说,这两种方法是互补的。CWB方法的优点是它对第二Melnikov条件的要求变弱,使得它更适用于解重法频的情况,而缺点是它不能给出拟周期解附近的动力学性态。相比CWB方法,KAM方法具有如下优点：除了证明拟周期解的存在性,它还在解的邻域内构造了标准型,并能得到解的某些动力学性质,比如解的稳定性和零Lyapunov指数；这套方法的缺点是它对第二Melnikov条件的要求太强,使得它对重法频的情况难于解决。在本论文中,我们讨论带拟周期强迫项的非线性波动方程utt=uxx-μu-εφ（t）h（u）,μ>0 （0.1）在狄利克雷边值条件u（t,0）=0=u（t,π）, -∞<t<∞下的拟周期解的存在性,这里χ∈[0,π],ε为某一小参数,Φ（t）为具有频率向量ω=（ω1,ω2…,ωm）C[e,2e]m（p>0）的实解析拟周期函数,h为具有如下形式的非线性实解析奇函数。当Φ（t）和h满足某些条件时,经由KAM理论,我们证明了上述方程（0.1）有很多拟周期解。本论文主要组成部分就是变换哈密顿系统,使之满足KAM定理的要求。首先要通过一个线性拟周期变量变换,把相应的哈密顿系统的线性部分变换为常系数的线性系统。然而,在这方面并没有通用的结果。因此,这篇论文的一个重要组成部分就是无穷维线性拟周期系统的可化性。实际上,有关于无穷维线性拟周期系统的可化性的研究结果很少,目前,已知的研究结果中有D.Bambusi及S.Graffi[5],Kuksin及Eliasson[31].但这两篇文章讨论的都是Schrodinger算子,由于Schrodinger方程和波动方程相应的Hilbert尺度的同构的阶不同,所以上述两个结果不能直接用于我们的问题。文章具体安排如下：第一章,主要介绍了无穷维KAM理论在非线性偏微分方程的有限维环面的存在性上的应用,国内外研究现状以及本文的主要结果。第二章,首先给出了Kuksin[36]的无穷维哈密顿系统的KAM理论,这个KAM理论在§3.2证明波动方程的可化性时将用到。其次,我们给出了Poschel[57]中的关于偏微分方程的KAM定理,此定理将用来证明我们的主要结论定理3.1.1。第三章是本论文的主要部分。不失一般性,我们取h（u）=u+u3。在§3.2中,我们讨论波动方程相应的哈密顿函数及其可化性。首先,可将波动方程（0.1）改写为如下哈密顿系统：H=H+εG4,其中且为了简便,令Xj=Wj,Zj=ω-j,我们引入坐标（…,ω-2,ω-1,ω1,ω2,….）。我们证明了存在一个实解析典则变换∑∞0,其将哈密顿函数H变换为其中且将哈密顿函数G4变换为从而知哈密顿函数H=H+εG4被∑∞0变换为H=Ho+εG4.在§3.3中,为了应用文献[57]中的KAM定理,我们将§3.2中的哈密顿函数变换为某个四阶的部分Birkhoff标准型。即证存在一个实解析的辛变换XF1,其将哈密顿函数H=H0+εG4变换为H o XF1=Ho+εG+εG+ε2K,其中XG,XK∈A（la,s+1）,这里Gij为如下给定的系数：其中ωij（ω,ε）光滑依赖于ε和ω,且存在一个绝对常数C使得,当ε足够小时,║ωij（ω,ε）║Ω*≤Cεp,又当|Im（?）|<σ0/3,ω∈Ω时,令Ζ=（Zn+1,zn+2,…）我们有|G|=O（‖z‖4a,s）,|K|=O（‖z‖6a,s）.引入作用量-角变量：前述标准型变换为：这里I=（I1,…,In）,A=（Gij）1≤i,j≤n,B=（Gij）1≤j≤n≤i,Z=（|Zn+1|2,|Zn+2|2,…）.通过如下关系,我们引入参数向量ξ=（ξj）1≤j≤n。及新的作用量P=（Pj）1≤j≤n：Ij=εξj+ρj,ξj∈[0,1], |ρj|<ε2,1≤j≤n.则标准型变换为：从而,哈密顿函数为：其中P=εG+εG+ε2K这里G=0（|P|2）+O（|P|║Z║）.在§3.4中,我们证明主要结论定理3.1.1。为了将Poschel[57]中的KAM定理用到我们的问题中,我们引入新的参数ω。对于任意给定的ω-∈Ω,若ω∈Ω：={ω∈Ω||ω-ω≤ε},我们引入新的参数ω：ω=ω+εω,ω∈[0,1]m.此时,哈密顿函数为H=<ω（ξ）,y>+<Ω（ξ）,Z>十P这里ω（ξ）=ω（?）ω其中ω=α+ε2Aξ,Ω（ξ）=β+ε2Bξ,ξ=ω（?）ξ,y=J（?）,α=（μ1,…,μn）,β=（μn+1,μn+2,...）.对上述哈密顿函数,应用[57]中的无穷维KAM定理可知,非线性波动方程（0.1）有如下形式的解这里fj（（?）,ω,ε）=λj-1εPFJ*（（?）,ω,ε）关于变量（?）的每个分量都以2π为周期且当j∈J,（?）∈Θ（σ0/2）,ω∈Ω时,我们有|f*j（（?）,ω,ε）|≤C。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 第一章 引言
• §1.1 自治系统
• §1.2 非自治系统
• 第二章 无穷维哈密顿系统与KAM理论
• §2.1 辛结构和哈密顿系统
• §2.1.1 辛Hilbert尺度和哈密顿方程
• §2.1.2 典则变换
• §2.1.3 哈密顿方程的局部可解性
• §2.1.4 环形相空间
• §2.2 Kuksin的无穷维KAM理论
• §2.3 一个关于偏微分方程的无穷维KAM定理
• 第三章 带拟周期强迫项的非线性波动方程的拟周期解
• §3.1 主要结论
• §3.2 波动方程的哈密顿函数及其可化性
• §3.3 部分Birkhoff标准型
• §3.4 主要定理的证明
• 参考文献
• 致谢
• 读博期间发表和完成的论文
• 学位论文评阅及答辩情况表