数学物理反问题的正则化

论文摘要

在这篇论文中我们提出研究反问题的“修改核”思想,并依据此思想对四类经典数学物理反问题:高阶数值微分、逆热传导问题、Laplace方程Cauchy问题和反向热传导问题进行了系统的研究。我们分析这些反问题的不适定性,即解不连续依赖于定解数据,并且讨论它们不适定的程度。为稳定地计算这些问题,首先通过在频域空间分析一维逆热传导问题的多种正则化方法,我们找到了这些方法的一个有趣联系并指出它们形成正则化的本质原因,从而归结出一个所有一维逆热传导问题的正则化方法均满足的重要性质。借助该性质的思想,运用扰动核方法和Fourier截断方法我们研究了高阶数值微分和一个二维逆热传导问题。基于前面的分析和讨论,我们提出了研究解在频域空间具有某种共同形式的不适定问题的“修改核”思想。遵循该思想,我们用扰动方法研究了非标准逆热传导问题,Laplace方程Cauchy问题和反向热传导问题。我们讨论了所有这些正则化方法的稳定性,给出并且证明了正则化解与精确解之间的收敛性估计。此外,我们还讨论了所有这些方法的数值实现,详细阐述了Fourier变换和有限差分的应用技巧。而且用大量的数值例子测试了所提出的正则化方法各方面的性质。这些测试表明我们提出的方法是有效的和数值可行的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一节 前言
• 1.1 反问题概述
• 1.2 正则化方法
• 1.3 总纲
• 第二节 经典数学物理反问题及其不适定性
• 2.1 逆热传导问题
• 2.1.1 一维情形
• 2.1.2 二维情形
• 2.2 Laplace方程Cauchy问题
• 2.2.1 无限带形区域
• 2.2.2 有界方形区域
• 2.3 反向热传导问题
• 2.4 高阶数值微分
• 2.5 小结
• 第三节 修改核方法及误差估计
• 3.1 频域空间的一个正则化原理
• 3.1.1 正则化方法的分析
• 3.1.2 数值微分的正则化
• 3.1.3 二维逆热传导问题的正则化
• 3.1.4 小结
• 3.2 扰动方法
• 3.2.1 非标准逆热传导问题
• 3.2.2 Laplace方程Cauchy问题
• 3.2.3 反向热传导问题
• 3.2.4 小结
• 3.3 正则化解与正则化参数的关系
• 3.4 修改核方法与其它正则化方法的关系
• 第四节 第三章结果的证明
• 4.1 第三章第一节结果的证明
• 4.1.1 定理3.2和3.6的证明
• 4.1.2 定理3.9,3.10和3.14的证明
• 4.2 第三章第二节结果的证明
• 4.2.1 定理3.21和3.22的证明
• 4.2.2 定理3.23和3.24的证明
• 4.2.3 定理3.25和3.26的证明
• 4.2.4 定理3.27,3.28和3.29的证明
• 4.3 定理3.30的证明
• 第五节 数值实现
• 5.1 离散Fourier技术
• 5.1.1 数值微分的算法
• 5.1.2 反向热传导问题的算法
• 5.1.3 二维逆热传导问题的算法
• 5.2 有限差分
• 第六节 数值试验
• 6.1 Fourier技术
• 6.1.1 数值微分
• 6.1.2 非标准逆热传导问题
• 6.1.3 Laplace方程Cauchy问题
• 6.1.4 反向热传导问题
• 6.1.5 二维逆热传导问题
• 6.1.6 小结与讨论
• 6.2 扰动方法的差分
• 6.2.1 非标准逆热传导问题
• 6.2.2 Laplace方程Cauchy问题
• 6.2.3 反向热传导问题
• 第七节 总结
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢