三种谢尔宾斯基网络演化模型及分形特征研究

论文摘要

现实世界中,存在大量的复杂系统,这些系统都可以用复杂网络来表示,例如,Internet网络,演员合作网、新陈代谢网、航空网等。这些不同类型系统的拓扑结构有着纷繁复杂的表现,但普通网络又表现出三大共性:连接度呈幂率分布,较高的集聚系数以及较短的平均路径。这些共性引起了科学工作者的极大兴趣,并引起了复杂网络的研究浪潮。本文将数学解析方法、分形理论应用到复杂网络的研究当中,通过建立一些改进的复杂网络模型来对复杂网络的宏观拓扑结构进行研究,用来模拟真实网络的拓扑结构和相关性质。本文首先介绍了复杂网络研究背景和意义以及复杂网络研究的现状,并详细地解释了复杂网络和分形所涉及的基本概念。然后针对复杂网络模型研究的现状,提出了以下三个模型:1、提出了谢尔宾斯基支架的具有分形和小世界特性的网络。利用数学归纳的方法计算出了网络图的集聚系数,平均最短路径和网络图的直径,证明了网络图的小世界特性。用盒维数和相似维数来衡量网络图的分形性,并得到该网络的集聚系数为0.53、网络的直径为4、平均路径长度为2.5,平均度分布为7.5,证明了该网络的小世界特性;然后测定该网络的盒维数和相似维数都约为2。2、研究了谢尔宾斯基地毯的分形和小世界特性。利用数学归纳的方法计算出了网络图的集聚系数,平均最短路径和网络图的直径,证明了网络图的小世界特性。用盒维数和相似维数来衡量网络图的分形性,并得到该网络的集聚系数为0.054,网络图的直径为6,平均路径长度小于6,测定盒维数和相似维数都约为1.8928。3、提出了一个具有分形和小世界特性的网络图。本文利用数学归纳的方法计算出了网络图的集聚系数,平均最短路径和网络图的直径,证明了网络图的小世界特性。用盒维数和相似维数来衡量网络图的分形性,得到该网络的集聚系数为0.44、网络的直径为4、平均路径长度为2.67,平均度分布为5.3,证明了该网络的小世界特性;然后测定该网络的盒维数和相似维数都约为1.585。最后对网络图的构造方法作了进一步地拓展,并给出了拓展的网络图的相关拓扑特性的表达式,并将其和原来的网络图可归结为一类具有分形和小世界特性的网络图。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 复杂网络的研究背景
• 1.2 复杂网络的研究意义
• 1.3 复杂网络的研究现状及存在的问题
• 1.4 本文的研究内容
• 1.5 本文的结构
• 2 复杂网络和分形的基本概念简述
• 2.1 复杂网络的定义及表示方式
• 2.2 复杂网络的基本属性
• 2.3 复杂网络的特征度量
• 2.3.1 节点的度分布
• 2.3.2 集聚系数
• 2.3.3 平均路径长度
• 2.4 分形与复杂网络的自相似性
• 2.4.1 分形的起源
• 2.4.2 分形的几何特征
• 2.4.3 复杂网络的自相似性
• 3 基于谢尔宾斯基支架的具有分形和小世界特性的网络
• 3.1 谢尔宾斯基支架
• 3.1.1 谢尔宾斯基支架的构造
• 3.1.2 谢尔宾斯基支架的性质
• 3.2 基于谢尔宾斯基支架构建的网络
• 3.3 基于谢尔宾斯基支架构建的网络的小世界特性
• 3.3.1 网络的集聚系数
• 3.3.2 网络的平均路径长度
• 3.3.3 网络的平均度
• 3.4 基于谢尔宾斯基支架构建的网络的分形性
• 3.5 网络图的拓展讨论
• 3.6 小结
• 4 谢尔宾斯基地毯的分形和小世界特性
• 4.1 谢尔宾斯基地毯
• 4.1.1 谢尔宾斯基地毯的构造
• 4.1.2 谢尔宾斯基地毯的性质
• 4.2 基于谢尔宾斯基地毯构建的网络
• 4.3 基于谢尔宾斯基地毯构建的网络的小世界特性
• 4.3.1 网络的集聚系数
• 4.3.2 网络的平均路径长度
• 4.3.3 网络的平均度
• 4.4 基于谢尔宾斯基地毯构建的网络的分形性
• 4.5 网络图的拓展讨论
• 4.6 小结
• 5 一类具有分形和小世界特性的网络图
• 5.1 谢尔宾斯基垫片
• 5.1.1 谢尔宾斯基垫片的构造
• 5.1.2 谢尔宾斯基垫片的性质
• 5.2 基于谢尔宾斯基垫片构建的网络
• 5.3 基于谢尔宾斯基垫片构建的网络的小世界特性
• 5.3.1 网络的集聚系数
• 5.3.2 网络的平均路径长度
• 5.3.3 网络的平均度
• 5.4 基于谢尔宾斯基垫片构建的网络的分形性
• 5.5 网络图的拓展讨论
• 5.6 小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢