时滞竞争扩散系统Hopf分支解的稳定性

论文摘要

在对生态学的研究中,考察生物种群的演化已经成为一个重要的课题。生物种群是极其复杂的,一方面我们考虑的是只有两个种群的捕食与被捕食系统,且种群在空间中的密度分布不均匀,种群可以由高密度向低密度流动;另一方面,在种群发展的生态系统中时滞的影响是常常存在的。一般而言,含有时滞的模型有两类,一类是含有离散时滞的Logistic模型;另一类是含有无穷时滞的Volterra模型。我们在本文中所考虑的是后者,即含有无穷时滞的竞争扩散系统。 以前的研究者只讨论了此类系统的空间齐次周期解的存在性条件,或是以时滞,或扩散系数为分支参数的Hopf分支存在的条件,以及Neumann边界条件下此类系统的Hopf分支方向。与以前的研究者不同的是,本文不仅讨论了在Dirichlet边界条件下系统的Hopf分支在以扩散系数为分支参数的情况下的存在性和分支周期解的空间非齐次性,而且更多的关注了系统在Dirichlet边界条件下Hopf分支解的稳定性及Hopf分支的方向,也即系统定态解（u*,v*）在何种条件下,当分支参数如何变化时产生Hopf分支且分支周期解是带渐近位相轨道渐近稳定的。 要证明以上的结论,我们所采用的方法是[24]中的Hopf分支定理所给出的判断Hopf分支存在性及分支周期解稳定性方法。首先我们把系统改写成算子微分方程,为了确定其中线性算子的Poincare范式,我们在中心流形上将向量值函数xt约化成二维的形式。接着要确定此二维算子微分方程的Poincare范式的Floquent指数,为此我们需要确定此二维算子微分方程中各函数的幂级数展开式的前四项系数。在计算这些系数的时候,由于系统的复杂性,我们不得不在系统各参数取特殊值的情况下计算Hopf分支的方向。 本文安排如下:第一章是绪论部分。介绍问题的生物学背景,概述Logistic模型和Volterra模型的研究历程并提出我们所研究的课题,另外还给出了所需的基础理论。第二章是讨论是时滞竞争扩散系统的Hopf分支解的稳定性。本章分四个部分,第一部分是对问题的概述;第二部分讨论了扩散系数对具有无穷时滞的一维竞争扩散系统的空间一致定态解（u*,v*）的稳定性的影响,将扩散系数d作为分支参数,我们证明了从d0处当d<d0时产生Hopf分支。并且展示了系统在定态解附近的时空结构;第三部分借助Hassard[24],Zhou[27]分析无界时滞泛函微分方程时所用的方法,我们研究了此系统在分支点d0附近分支周期解的稳定性;第四部分给出实例分析。第三章讨论了带齐次Dirichlet边界条件的Olmstead模型的有界吸引区域的存在性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 背景知识
• 1.2 研究状况
• 1.3 基本原理
• 2 时滞竞争扩散系统Hopf分支解的稳定性
• 2.1 问题概述
• 2.2 Hopf分支和时空结构
• 2.3 Hopf分支解的稳定性
• 2.4 实例分析
• 3 Olmstead模型的不变集
• 致谢
• 参考文献
• 附录1（攻读硕士学位期间发表论文目录）