论文摘要
本学位论文共分六章,研究对象为几类差分方程周期边值问题,主要研究线性差分方程周期边值问题谱理论并结合非线性工具研究几类非线性差分方程边值问题的解的存在性和解的全局结构.第一章是绪论.阐明本文的研究背景、理论框架、介绍所研究的主要问题和所得主要结果.第二章运用Leray-Schauder原理研究带权非线性差分方程周期边值共振问题解的存在性.设λk是问题（0.0.1）所对应的线性化问题的第k个特征值,权函数α>0,g是一个连续函数.在适当条件下,我们得到了问题（0.0.1）解的存在性.获得了平行于微分方程类似周期边值问题的可解性结果.第三章系统研究线性差分方程周期边值问题的特征值分布和特征函数的性质.在T奇偶性不同时,确定了问题（0.0.2）特征值的确定重数并得到了相应特征函数的变号次数.前人的相关工作是针对微分方程周期边值问题的,而关于差分方程周期边值问题,史玉明等人在文献[87]中讨论了般的差分方程周期边值问题特征值的排列,未获得特征值的精确重数和相应特征函数的变号次数.本章内容是文献[87]结果的细化,因此是全新的.第四章依据第三章所得的相应线性问题（0.0.2）的特征值结果,运用Leray-Schauder原理研究非线性差分方程周期边值共振问题对称解的存在性.设λk是问题（0.0.2）的第k个特征值,在非线性项满足一定条件的前提下,获得了问题（0.0.3）对称解的存在性,指明了这些对称解的奇偶性,得到了平行于微分方程类似周期边值问题的可解性结果.第五章依据第三章所得的相应线性问题（0.0.2）的特征值结果,运用Rabinowitz全局分歧理论研究非线性差分方程周期边值问题变号解的存在性.设λk是问题（0.0.2）的第k个特征值.我们给出了参数r的取值范围,在此范围内时,问题（0.0.4）至少存在两个变号解,且给出了变号解确切的变号次数,进一步可以保证这些解的奇偶性.得到了类似于同类问题的微分方程周期边值问题已有可解性结果,所得结果可以涵盖正解存在性结果[11],[16],[48].第六章依然借助第三章所得的相应线性问题（0.0.2）的特征值结果,运用Leray-Schauder原理和分歧定理研究非线性差分方程周期边值问题多个对称解的存在性.在非线性项次线性增长的条件下,确定了参数λ依赖于λk的不同取值范围,在不同范围内的λ确保问题（0.0.5）不同个数对称解的存在性,并且指明了这些解的奇偶性.