非线性问题的优化同伦分析方法

论文摘要

非线性现象渗透于各个专业领域之中,关于非线性问题的求解是一件有意义且有趣的工作。从上世纪九十年代初兴起的同伦分析方法便是一种求解非线性方程级数解的解析近似方法。该方法的基本思想是通过构造同伦(或称为零阶变形方程),将非线性问题的解与一个所谓的嵌入参数q∈[0,1]联系起来,当该参数q从0渐变至1时,所构造的同伦方程的解由给定的初始猜测解渐变至所求非线性问题的精确解。这种思想与计算数学上早已有之的解非线性代数方程的“同伦方法”或“连续法”的思想一致,但同伦分析方法主要应用于微分方程的解析求解。同伦分析方法提供了有效途径来控制和调节级数解析解的收敛性。其所得到的级数解析解中含有一个称为收敛控制参数(矢量)的辅助参数h(或者矢量h),合理选择该参数(或矢量),就有可能获得在较大范围内收敛的级数解析解。本文提出了一种关于收敛控制矢量h的单步最优逼近方法,这种优化方法改善了同伦分析方法在求解非线性问题时的计算效率。文章先给出了带有未知嵌入函数的泰勒级数的同伦方程,并利用控制方程的最小平方余量误差来依次确定每阶解中的收敛控制参数。因此,在每一阶近似时,只需求解一个含有单未知变量的低次代数方程来确定收敛控制参数hk的最佳值,从而使计算效率明显改善,这种计算优势在高阶近似时尤为突出。文章给出了五个示例来说明优化同伦方法的有效性,及其计算效率的优越性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 同伦分析方法发展历程
• 1.2.1 零阶形变方程
• 1.2.2 高阶形变方程
• 1.3 收敛控制参数传统选取方法
• 1.4 本论文研究目的和意义
• 1.5 本论文主要工作和结构
• 第二章 优化同伦分析方法
• 2.1 基本思想
• 2.2 范例性描述
• 2.2.1 同伦分析过程简述
• 2.2.2 三种收敛控制参数选取方法
• 2.2.2.1 传统选取方法
• 2.2.2.2 Marinca等的选取方法
• 2.2.2.3 单步优化方法
• 2.2.3 结果分析
• 第三章 含有复杂右端项的问题求解
• 3.1 切比雪夫多项式简介
• 3.2 方程复杂右端项的处理
• 3.3 两个算例
• 3.3.1 例1
• 3.3.2 例2
• 3.3.3 结果分析
• 3.4 本章小结
• 第四章 由变分问题演化而来的非线性微分方程求解
• 4.1 变分问题基础
• 4.2 用同伦分析方法求解变分问题
• 4.2.1 例1
• 4.2.2 例2
• 4.2.3 结果分析
• 4.3 本章小结
• 第五章 结论
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文
• 攻读硕士学位期间参与的科研项目