论文摘要
非线性微分方程的求解是非线性科学中的核心问题之一.廖世俊教授于1992年提出了同伦分析方法,与传统的解析方法不同,同伦分析方法提供了一个简便的途径来控制和调节非线性问题级数解的收敛区域和收敛速度,且赋予我们很大程度的自由去选择不同的基函数来表达非线性问题的解,并在逻辑上包含一些传统的方法,比如Adomian分解法、Lyapunov人工小参数法和δ展开法.对于同伦分析方法,廖世俊教授及其团队、国内外学者做了大量的工作,但是同伦分析方法中的辅助参数h的数学含义并不清楚,且同伦分析方法中得到的h的取值范围及级数解的收敛域均是通过数值的办法得到的.廖世俊于2003年证明了广义泰勒定理,并且认为广义泰勒定理可以说明h的数学含义,从数理逻辑上显示了同伦分析方法的有效性和合理性.刘成仕教授证明了广义泰勒定理仅仅是普通的泰勒定理在另外一点t0处的泰勒展式,建立了t0与h之间的关系,从而说明了h的数学含义,揭示了广义泰勒定理的实质,在此基础上提出了一般级数展开法,并且利用一般级数展开法计算了一些具体的例子得到了比同伦分析方法更好的结果.一般级数展开法的难点在于当取不同的基函数,不同的初始点时,如何计算系数,刘成仕教授研究了当基函数为（t - t0）n和( e-2t- t0)n时的一般级数展开法,本文研究了当取更复杂的基函数{（t - t0）me-m|m=0,1,2,…n=1,2,…},利用一般级数展开法解微分方程V′（t） = 1-V2（t）, V（0）= 0,得到了比同伦分析方法更好的结果.
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