热传导方程半离散差分格式的研究

论文摘要

热传导方程描述了许多自然现象,例如;大气污染物质浓度的扩散,沿海盐度,温度扩散,汕气藏流体运动规律的微分方程等等。因此求解热传导方程的计算方法引起了充分的重视。本文主要研究了常系数热传导方程的半离散有限差分方法。 目前求解热传导方程主要有,有限差分方法,有限元方法,还新出现了有限体积法,谱方法等,其中有限差分方法仍然是求解热传导方程的比较有效的常用的方法之一。有限差分方法主要有,显式格式和隐式格式（Crank-Nicolson格式）,其中显式格式虽然计算简单,便于编程,但有稳定性限制,并且精度也比较低,不便于适用。Crank-Nicolson格式虽然是无条件稳定,但是计算量也比较大,并且需要求解大型矩阵为系数矩阵的线性方程组,有些情况下系数矩阵是病态的。因此我们研究了热传导方程半离散的差分格式（第一部分）,我们首先把热传导方程在x方向的二阶导数应用二阶中心差分近似代替,t方向不变,将方程转化为一系列的常微分方程组,讨论了机容性,收敛性,稳定性等性质,并且应用向前Euler方法和向后Euler方法以及R-K方法于ODES,讨论了求解过程中存在的问题和求解方案,并作了数值实验（1）得到了比较好的结果。第二部分中将含低价项热传导方程半离散差分格式的研究,并讨论了相容性,收敛性,稳定性分析并作了相应的数值实验（2）得到较好的的结果。并避免了刚性问题,得到了计算简单,无条件稳定的显式格式。第三部分是第二部分的结论推广到二维含低价项热传导方程中去,并类似的讨论了收敛性,相容性,稳定性等性质得到了求解热传导方程的计算简单,无条件稳定,显式格式并做了数值实验（3）数值实验结果表明了我们的方法是可行的,有效的求解热传导方程方法之一。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 1 一维热传导方程的半离散差分格式
• 1.1 半离散差分格式的构造
• 1.2 收敛性，相容性，稳定性
• 1.3 Runge-Kutta方法和刚性问题
• 1.4 数值例子（1）
• 2 一维含低价项热传导方程半离散差分格式的研究
• 2.1 半离散差分格式的构造
• 2.2 收敛性，相容性，稳定性
• 2.3 数值例子（2）
• 3 二维含低价项热传导方程半离散差分格式的研究
• 3.1 半离散差分格式的构造
• 3.2 收敛性，相容性，稳定性
• 3.3 数值例子（3）
• 结论
• 附件
• 参考文献
• 致谢
• 研究生期间的主要研究成果