论文摘要
混沌是非线性系统普遍存在的一种现象。它具有对初始条件指数敏感依赖性并具有确定的随机性等特征。混沌研究渗透到各门学科，特别在天体力学中得到蓬勃发展。影响混沌研究的因素有数值方法和混沌识别指标。传统的高阶数值方法尽管为求解天体运动轨道的数值解提供了较高的精度，但具有人工耗散因素，不能保持运动物理守恒量等动力系统固有性质。辛算法弥补了传统方法的不足，能保持系统的能量和辛结构，是适合定性研究哈密顿系统的最佳方法。然而辛算法局限于哈密顿系统，同时精度不够高，并且除能量积分外，一般不能保持其他的运动积分。鉴于此，20世纪70年代由Baumgarte提出的微分方程稳定化和Nacozy引入的流形改正方法直至目前仍得到广泛关注和发展。Baumgarte方法就是在运动微分方程中加入有关物理守恒量控制项后再用传统数值方法进行数值积分，可以逐步保持该守恒量。而Nacozy方法是先用传统数值方法给出数值解，再在数值解中加入有关物理守恒量获得校正解使校正后的该物理守恒量精度约为校正前的平方。该方法又称为后稳定化方法。本文对这两种稳定化方法进行了详尽讨论与数值比较。经典数值方法结合这两种稳定化方式都能提高数值精度和改善数值稳定性。在最佳稳定参数下，Baumgarte稳定化精度一般不等价于后稳定化方法。两者精度优劣并无常定。考虑到Baumgarte的稳定化使得数值积分的右函数更复杂和增加计算耗费，尤其是存在稳定参数最佳选取的麻烦，故推荐后稳定化投入实算。但值得注意的问题是后稳定化与没有经过稳定化处理的经典积分器来比，不宜扩大积分步长。除了恰当的数值方法外，研究混沌还需要可靠的混沌识别指标。现有的混沌识别方法主要有Poincare截面法，Lyapunov指数，快速Lyapunov指标等。这些方法各有优缺点。Poincare截面能够直观地揭示动力学相空间结构但一般限于相空间维数与运动积分个数之差不超过3的系统。Lyapunov指数可用于多维动力系统，但为了取得稳定的极限值常需要较长的计算时间。Froeschle的快速Lyapunov指标优越于Lyapunov指数，能快速灵敏地识别有序和混沌轨道。2006年Wu Xin等发展了快速Lyapunov指标，提出用两邻近轨道方法代替变分方程方法定义这一指标，其优越性在于方便研究复杂的引力系统。本文的一个重要目的是讨论该指标的另一方面的优点。我们认为该指标结合假辛算法是研究可分解为主次部分的哈密顿系统的较完美组合。为此，我们重点考察了牛顿核壳模型，它是相对论下的核壳模型在弱场和低速运动的极限情形。这种模型可以解释银河系的一类恒星遗迹周围的尘埃构形。由于这种系统属于可分解为一个主要部分和次要部分的哈密顿系统，因此采用Laskar和Robutel的假八阶辛积分器是较理想的数值积分工具。与之相匹配的混沌识别指标最好选用Wu Xin等提出的两邻近轨道的快速Lyapunov指标。数值结果表明：这种方法不仅能描述一些动力学参数的变化导致系统从有序到混沌的动力学性质变迁，而且能够快速灵敏有效地揭示相空间全局结构。