赋范空间中的正交性及圆的相关问题的研究

论文摘要

欧氏几何中,在正交性方面有许多完美的结论,这些结论在欧氏空间相关问题的研究中发挥着重要作用。随着Minkowski几何（即实有限维赋范线性空间几何学）的发展,很多数学家在Minkowski空间（即实有限维赋范线性空间）中引入了许多不同的广义正交的概念,并对这些广义正交的概念进行了较为深入的研究。然而,对这些广义正交性的研究目前尚不完备,还有很多基础性的问题亟待解决。本文主要讨论赋范线性空间中的广义正交性的唯一性并给出目前在该方向最好的结论。本文首先阐述了国内外研究现状、课题的目的和意义、及本文的主要内容。其次介绍Minkowski空间的基本理论知识,等腰正交的定义与基本性质,以及与等腰正交相关的部分已知结果,为后文的证明奠定理论基础。作为主要内容,本文讨论了Minkowski空间中等腰正交的唯一性与单位圆上所含线段长度之间的关系,证明了对一个Minkowski平面X中满足x > 0的一个点x以及任一数ρ∈[0,2|x|/Mx] （ Mx= 0时ρ∈[ 0,+∞）),都存在唯一的一点y∈ρSX（不考虑符号）使得x⊥Iy。该结果加强了J. Alonso在1994年给出的结果:设X是一个Minkowski平面, x∈X,ρ∈R,在0 <ρ≤|x|时,存在唯一的y∈X（不考虑符号）,满足|y| = r,使得x⊥Iy。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 本课题的学术背景和理论意义
• 1.2 国内外研究现状和发展趋势
• 1.3 本课题来源及主要内容
• 1.3.1 课题来源
• 1.3.2 主要内容
• 第2章 基础知识
• 2.1 Minkowski 空间和Minkowski 平面
• 2.2 三角不等式
• 2.3 严格凸性
• 2.3.1 严格凸性的定义
• 2.3.2 严格凸性基本性质
• 2.4 内积空间的基本知识和特征性质
• 2.5 等腰正交
• 2.5.1 基本性质
• 2.5.2 等腰正交和内积空间的特征
• 2.5.3 与等腰正交相关的一些概念
• 2.6 本章小结
• 第3章 等腰正交的唯一性
• 3.1 一个引例
• 3.2 等腰正交的唯一性
• 3.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读学位期间发表的论文
• 致谢