论文摘要
Hilbert空间中的框架概念最早是由Duffin和Schaeffer在1952年研究非调和Fourier级数时首次正式提出的.框架是标准正交基的一个推广,并且用框架表示空间中的元素的展开式不是唯一的,这种性质使得它成为了实际应用中的一个很好的工具.随着框架理论的发展,一些学者给出一些比框架概念更一般的不同的新概念,比如有界拟投影算子,伪框架,斜框架,外框架,g-框架等,并且这些推广框架在许多实际应用的问题中都得到了很好的应用.2010年,Gavruta最新提出了K-框架的概念,它是一种比Hilbert空间的框架更一般的框架,并且与原子系统之间存在着密切的关系.K-框架和框架唯一的不同点在于放低了框架下界的要求.虽然K-框架和框架有很多相似的性质,但并不是所有的性质都相似.例如,在框架中,,2线性无关的框架和无冗框架是等价的,但在K-框架中,l2线性无关的K-框架和无冗K-框架并不等价.那么Hilbert空间中的框架还有哪些性质可以推广到K-框架中去呢?因此本文在已有框架理论的基础上,主要对无冗K-框架的等价刻画、算子刻画和扰动的稳定性进行了研究.本文的结构我们大体安排如下：第一章,主要对框架的产生和发展作了简单的介绍.第二章,简单回顾了Hilbert空间中框架的一些基本概念和重要性质,然后对推广框架中的K-框架和g-框架的一些重要的理论知识作了重点的介绍,最后,介绍了本文的主要的工作内容.第三章,首先,虽然l2线性无关的K-框架和无冗K-框架不等价,但是我们发现l2线性无关的K-框架在-定条件下和无冗K-框架是等价关系,并且给出了这个条件.然后,讨论了无冗K-框架在K-框架中的算子K和Hilbert空间中的有界线性算子T下的算子刻画.第四章,首先,我们讨论了K-框架在一些算子的作用下可以是一定范围内的框架,并且给出了需要的条件；同时也指出了K-框架的合成算子并不一定是闭的.然后,根据无冗K-框架与l2线性无关的K-框架的等价关系,我们主要讨论了无冗K-框架在算子刻画下的扰动定理；同时,利用泛函分析中的算子理论,我们也对无冗K-框架的扰动稳定性做了进一步的研究.