高阶Lagrange函数的哈密顿原理和正则方程

论文摘要

本文以传统分析力学中拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿原理为理论基础,对高阶运动微分方程进行了研究,从而得出可以直接反映力变率和高阶力变率的动力学系统的运动规律,是对传统分析力学和牛顿力学理论的进一步补充。主要的工作如下:(1)利用急动度概念和牛顿第二定律推导出三阶拉格朗日方程,这是本文中非常重要的微分方程,然后在三阶拉格朗日方程的基础上,定义了加速度Hamilton函数H *和广义加速度动量P *,从而导出与三阶拉格朗日方程对应的三阶赝哈密顿正则方程。此方程与传统分析力学中的哈密顿正则方程在形式上相似。(2)引入高阶速度能定理,运用积分变分原理导出一般完整系统的三阶哈密顿原理、四阶哈密顿原理及高阶哈密顿原理,并证明了一般完整系统的三阶哈密顿原理,四阶哈密顿原理与相应的拉格朗日方程的相容性。(3)运用积分变分原理,对高阶Lagrange函数的哈密顿原理进行了推导,并证明了高阶Lagrange函数的哈密顿原理与高阶拉格朗日方程的相容性。(4)在等时变分条件下,推导了高阶Lagrange函数所满足的高阶拉格朗日方程。这些方程与传统分析力学的结果具有一致性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 引言
• 1.1 分析力学的概述
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 本论文的研究意义和内容安排
• 2 传统分析力学的基本内容
• 2.1 完整系统
• 2.2 拉格朗日方程的推导
• 2.2.1 基本形式的拉格朗日方程
• 2.2.2 保守力系的拉格朗日方程
• 2.3 哈密顿正则方程
• 2.3.1 勒襄特变换
• 2.3.2 正则方程
• 2.4 哈密顿原理
• 2.4.1 变分运算的几个法则
• 2.4.2 哈密顿原理
• 2.4.3 一般完整系统的哈密顿原理
• 3 三阶方程
• 3.1 完整系统三阶拉格朗日方程
• 3.1.1 完整系统三阶拉格朗日方程的推导
• 3.1.2 三阶拉格朗日方程与拉格朗日方程的相容性
• 3.2 三阶赝哈密顿正则方程
• 3.2.1 三阶赝哈密顿正则方程的推导
• 3.2.2 三阶赝哈密顿正则方程的讨论
• 3.3 一般完整系统的三阶哈密顿原理
• 3.3.1 一般完整系统的三阶哈密顿原理的推导与验证
• 3.3.2 三阶哈密顿原理的应用举例
• 4 高阶方程
• 4.1 高阶哈密顿原理
• 4.1.1 一般完整系统的高阶哈密顿原理
• 4.1.2 高阶 Lagrange 函数的哈密顿原理
• 4.2 高阶 Lagrange 方程
• 4.2.1 高阶 Lagrange 函数的拉格朗日方程
• 4.2.2 高阶 Lagrange 方程的应用举例
• 结语
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间公开发表论文及著作情况