理工科大一学生高等数学思维的研究

论文摘要

从中学数学转向大学数学的学习过程中,大一学生会遇到各种各样的困难,思维方式的转变是中学向大学过渡的关键,因此研究本科生的数学思维方式是高等教育的重要课题之一。教学实践表明大一学生在解决数学任务时的策略大都是建立在已有经验基础上的模仿推理,他们很少进行创造性的数学推理活动。因此,研究学生头脑中创造这些推理序列的数学思维过程是非常必要的,这有助于发展学生的高等数学思维。首先,研究综述了国外关于高等数学思维(Advanced Mathematical Thinking)的文献资料,并在已有的概念和理论框架下界定了本研究中的高等数学思维概念以及理论框架。论文中的高等数学思维定义为一种“需要精确严格定义和建立在该定义基础上的演绎证明的思维过程”(Tall,1992; Edwards et al,2005)。根据这个定义,精确定义和建立在该定义基础上的逻辑演绎证明是高等数学思维的重要元素。文章从概念建构层面提出了高等数学思维分析框架,按照APOS理论把学生概念建构过程分为四个发展阶段。在概念使用模式中,我们把学生运用概念定义的能力划分为四个发展水平,同时把学生利用定义构造证明中的困难进行了分类。其次,文章采用了问卷调查、课堂观察和个别访谈等方法来研究大一学生的数学思维现状。入学初的问卷调查主要是了解新生头脑中已有的数学认知和推理方式,教学过程中的问卷目的在于分析学生转向高等数学思维过程中的困难,从概念定义的使用方面进行了分析。而课堂观察是在教师提供高认知水平教学前提下来观察学生的认知活动,期望学生的高等数学思维获得一定程度的发展,个别访谈则是进一步探究学生缺失高等数学思维的原因。数据分析表明大一学生高等数学思维的发展存在一定的困难：对概念的理解缺乏关系性思维,而关系性结构则是发展到抽象水平的关键。对概念的理解缺乏技术思维模式,而技术思维模式是定义构造证明的关键。论文最后谈到了创设高等的数学活动问题。首先提出了微积分中的某些特定专题的教学理念,其次开发并设计了具体的教学案例。要想发展学生的高等数学思维,教师就要给学生提供发展的机会,让他们在数学学习过程中能真正理解数学,并在高水平数学活动中培养高水平数学技能。从初等数学思维向高等数学思维转变过程中,数学课程内容本身可造成学生困难,这种认识论上冲突是无法克服的,而教学法冲突则是由教学本身或教师造成的,因此高等的数学活动是发展高等数学思维的关键。同时,研究提出了一些建设性的建议。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 研究导论
• 1.1 选题背景
• 1.1.1 大学数学教育发展现状
• 1.1.2 学生问题解决思维模式
• 1.2 研究问题
• 1.3 研究价值
• 1.4 研究框架
• 第二章 文献综述
• 2.1 有关概念的界定
• 2.1.1 数学思维
• 2.1.2 高等数学思维
• 2.2 有关高等数学思维教与学研究
• 2.2.1 具体数学概念的研究
• 2.2.2 关于严格证明的研究
• 2.3 文献评述
• 2.3.1 概念研究范式及方法
• 2.3.2 证明研究范式及方法
• 第三章 高等数学思维理论框架
• 3.1 高等数学思维的特征
• 3.2 高等数学思维的认知理论
• 3.2.1 概念定义和概念表象
• 3.2.2 自反抽象和情境抽象
• 3.2.3 LGEs理论
• 3.3 高等数学思维分析模型
• 3.3.1 数学概念建构模型
• 3.3.2 数学抽象活动模型
• 3.3.3 数学推理活动模型
• 3.4 高等数学思维水平框架
• 第四章 研究的设计与过程
• 4.1 研究工具
• 4.1.1 问卷调查
• 4.1.2 课堂观察
• 4.1.3 个别访谈
• 4.2 研究对象
• 4.3 数据处理
• 4.3.1 数据收集
• 4.3.2 数据整理与分析
• 第五章 学生高等数学思维调查研究分析
• 5.1 学生数学思维方式问卷分析
• 5.2 学生高等数学思维问卷分析
• 5.2.1 学生运用"概念定义"情况分析及结论
• 5.2.2 学生高等数学思维困难分析
• 第六章 学生高等数学思维发展的调查分析
• 6.1 教学对学生高等数学思维发展影响分析
• 6.1.1 "概念建构"课堂教学观察
• 6.1.2 "证明构造"课堂教学观察
• 6.2 三名学生高等数学思维发展状况
• 6.2.1 马同学的思维发展现状
• 6.2.2 唐同学的思维发展现状
• 6.2.3 范同学的思维发展现状
• 6.2.4 三名学生思维水平比较及结论
• 第七章 课堂中高等数学活动的创设与探索
• 7.1 数学概念教学理念与设计
• 7.1.1 提供概念合适的认知根源
• 7.1.2 指导学生自己构建数学实例
• 7.1.3 探索高水平概念教学实践活动
• 7.2 数学证明教学理念与设计
• 7.2.1 强调结构性思维和逻辑推理规则
• 7.2.2 在证明过程中发现创造数学知识
• 7.3 研究结论
• 第八章 研究建议和展望
• 8.1 具体建议
• 8.2 研究展望
• 附录1: 学生“数学认知”量表
• 附录2: 学生“推理类型”问卷
• 附录3: 学生“高等数学思维”情况问卷
• 附录4: 学生“高等数学思维”访谈提纲
• 附录5: 博士期间发表论文情况
• 参考文献
• 致谢