含临界增长的双调和方程的多解

论文摘要

本文考虑了以下问题：多解的存在性。其中λ＞0是一个给定的常数，Ω（?）Rn是有光滑边界的有界区域，p=（N+4）／（N-4）是关于嵌入H02（Ω）（?）Lp+1（Ω）的临界指标，H02（Ω）=W02，2（Ω）是标准的Sobolev空间，其等价范数为‖Δu‖L2，Δ2=ΔΔ是N维二重拉斯算子。我们对问题（1）感兴趣是因为其对应的能量泛函失去紧性，从而导致了很多有趣的存在性和非存在性结果。易知如果λ＜0，Ω是星形区域，问题（1）就没有非平凡解（见文献[9]）。如果λ∈（0，λ1（N）），N≥8，其中λ1（N）是算子Δ2在H02（Ω）中的第一特征值，可以证明问题（1）至少有一个非平凡解。当N=5，6，7时，我们可以找到两个常数λ**（N）和λ*（N）满足使得如果λ∈（λ*（N），λ1（N）），问题（1）至少有一个非平凡解，并且如果Ω是一个球，λ∈(0，λ**（N）)，则问题（1）没有解（见文献[8]）。我们称N是下面边值问题，的临界维数，如果存在一个正常数Λ＞0，使得当Ω=BR（0）时，问题（2）有非平凡径向解的必要条件是λ＞Λ，其中N＞2m，m是自然数，λ是实数，s=（N+2m）／（N-2m）是Sobolev临界指数。近年来问题（2）倍受人们关注。由于临界指标，当Ω=BR（0）时，如果λ≥0，问题（2）的非平凡解可能存在并且这还与维数N有关。m=1的情况已经被Breize和Nirengberg在文献[2]中研究过。Pucci和Serrin在他们的文章[10]中猜测当Ω=BR（0）时，边值问题（2）的临界维数是N=2m+1，...，4m-1。本文的思路是先通过分析次临界方程的解序列得到了Δ2u=up-1u+λu的第二个解。再讨论当区域Ω=BR（0）时，利用特殊区域Green函数的一些性质，得到了问题（1）正解和变号解的存在性。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一节 引言
• 1.1 问题的提出
• 1.2 本文的主要结果
• 第二节 第二个解的存在性
• 2.1 预备知识
• 2.2 引理
• 2.3 定理1的证明
• 第三节 正解的存在性
• 3.1 预备知识
• 3.2 引理
• 3.3 定理2的证明
• 第四节 变号解的存在性
• 参考文献
• 致谢