时滞率依赖捕食—被捕食系统的稳定性及Hopf分岔分析

论文摘要

时滞是自然界和人类社会中普遍存在的现象。所谓时滞（time delay,delay）是指系统当前的发展趋势明显依赖于过去的历史状况。时滞对动力学行为有本质的、至关重要的影响。率依赖理论是近几年来生物数学界提出的一个重要理论,得到了很多学者的关注,但是长时滞的繁殖时滞对其动力学的影响未有人研究。连续Mackey-Glass模型是描述中性粒细胞生成过程的重要模型,但其生成时滞对其动力学的影响未有人研究。因此,很有必要考虑时滞对这两个动力学系统的影响。在国家自然科学基金（编号:10702065）的资助下,本论文主要研究了生态学、生理学中这两个时滞动力系统正平衡点的稳定性及Hopf分岔问题,并用非线性数值模拟软件WinPP进行了验证。理论分析与数值结果完全吻合,表明本文研究方法的正确性。所得结论对生物控制和临床治疗有重要启示。在第一章中,介绍了本论文所要用到的基础知识,即时滞、稳定性理论和Hopf分岔理论。在第二章中,研究了时滞率依赖捕食—被捕食模型正平衡点的稳定性以及局部Hopf分岔问题。利用Nyquist准则研究了其正平衡点的稳定性,利用Hopf分岔定理研究了其失稳后局部Hopf分岔的存在性。再运用中心流形定理和规范型理论分析正平衡点附近分岔周期解稳定的条件及Hopf分岔的方向,求出描述Hopf分岔性质的公式,并利用非线性动力学软件WinPP验证了上述结果。结论表明,当两个繁殖时滞都充分小时,两种群规模长时间保持稳定;但当其中一个时滞充分大时,两种群规模将会周期性波动。在第三章中,利用类似方法,研究了造血过程中的中性粒细胞Mackey-Glass模型正平衡点的稳定性以及局部Hopf分岔问题,并对其理论结果进行数值验证。结果表明,中性粒细胞的生成过程存在超临界Hopf分岔,即当粒细胞的生成时滞充分小时,长期来看,中性粒细胞的浓度将保持不变;但当时滞充分大时,中性粒细胞的浓度将发生周期波动,这对于预测中性粒细胞浓度变化的规律和监控、防治白血病有重要意义。本论文有以下两个方面的创新和特色:（1）在第二章中针对基于比率依赖的捕食—被捕食模型,考虑到生物实际中,两种群的繁殖时滞都比较大,对动力学的影响可能较大,因此,首次引入两个种群的繁殖时滞,即原率依赖捕食—被捕食模型变为分别具有两个繁殖时滞（?）1、（?）2的时滞率依赖捕食—被捕食模型。使得此模型可以更准确的描述两种群之间的捕食、此消彼长的动态过程。（2）在第三章中通过对中性粒细胞Mackey-Glass模型的分析发现,当中性粒细胞的生成时滞充分小时（如（?）=6＜（?）c=12.092）,其浓度将长期保持不变而不是混沌。该结果似乎纠正了以往研究中的一个错误,并有待实验验证。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 第一章 基础知识
• 1.1 时滞
• 1.2 稳定性理论
• 1.3 Hopf分岔理论
• 第二章 时滞率依赖捕食—被捕食系统的稳定性及Hopf分岔分析
• 2.1 引言
• 2.2 稳定性分析和Hopf分岔的存在性
• 2.3 Hopf分岔方向及稳定性
• 2.4 数值模拟及结论
• 第三章 中性粒细胞Mackey-Glass模型的稳定性及Hopf分岔分析
• 3.1 引言
• 3.2 稳定性分析和Hopf分岔的存在性、方向及稳定性
• 3.3 数值模拟及结论
• 第四章 总结
• 参考文献
• 致谢