论文摘要
本论文的研究工作主要是基于计算机符号计算技术,并结合微分方程、代数及算子等相关数学理论,跨学科地研究了现代科技中一些重要的非线性数学模型。这些模型的应用涉及到光孤子通信、生物体中能量传递、空间等离子体、玻色爱因斯坦凝聚态物质等诸多领域。非线性科学是当前前沿科学中最热门的研究领域之一,它的研究方向包括孤子,混沌和分形三个分支。本论文主要是以高阶、耦合及其变系数等较复杂的、与孤子相关的非线性数学模型为主体研究对象,通过强大的符号计算技术,结合双线性方法、B（?）cklund变换、Wronskian技术和无穷守恒律等理论对这些模型进行解析研究。本论文的主要工作如下:（一）基于双线性方法的基本思想,通过符号计算技术,推导了通用的由原非线性微分方程转化为相应双线性方程的变换公式。利用所得的变换公式,分别把非等谱、高阶和高阶耦合三个不同类型的非线性Schr（o|¨）dinger方程从原方程转化为了双线性形式的方程,为进一步通过小参数展开法构造多孤子解和研究双线性B（?）cklund变换提供了基础。（二）根据B（?）cklund变换的基本思想,通过符号计算技术,推导了一系列B（?）cklund变换所需要的双线性交换公式（交换公式的推导是B（?）cklund变换的难点之一）。通过选择合适的双线性交换公式,成功地推导了非等谱、高阶和高阶耦合三个不同类型非线性Schr（o|¨）dinger方程的B（?）cklund变换。然后通过符号计算和B（?）cklund变换,利用平凡解获得了在物理上具有重要意义的解析孤子解,并以非等谱的非线性Schr（o|¨）dinger方程为例详细探讨了所获得孤子解的性质和意义。在另一方面,作者利用B（?）cklund变换还推导出了高阶非线性Schr（o|¨）dinger方程的一个反散射变换方案。（三）基于Wronskian技术的定义和性质,利用符号计算,提出了非等谱、高阶和高阶耦合三个不同类型非线性Schr（o|¨）dinger类型方程的Wronskian行列式解,并把这些解直接代入了原双线性方程进行验证。在另一方面,作者还证明了B（?）cklund变换,在参数满足一定约束的条件下,正好是Wronskian形式的N-1孤子解到N孤子解的一个变换。在对孤子问题的研究中,多孤子碰撞是研究的一个重要课题。利用Wronskian形式的N孤子解可以直接给出解析的多孤子解的显示形式,并用于研究多孤子碰撞问题,以非等谱非线性发展方程为例,详细分析和研究了双孤子解的一些碰撞性质。（四）通过符号计算,作者提出了一个广义的变系数Miura变换,它关联着两个非线性发展方程的解,即原推广的变系数Korteweg-deVries方程和修正的变系数Korteweg-de Vries方程。然后,通过这个广义的Miura变换和Galilean不变变换证明了推广的具有外力项和扰动/色散项的变系数Korteweg-de Vries模型在广义的Painlev（?）可积条件下存在无穷守恒律。本论文研究的非线性数学模型在现代科技领域都有很重要的意义和广泛的应用,作者希望本文基于计算机符号计算技术,结合相应微分方程、代数及算子等相关数学理论所获得的结果对于非线性领域中孤子的研究有所贡献,为现实世界中光孤子通信,生物体中能量传递,空间等离子体,玻色爱因斯坦凝聚态物质等诸多领域提供理论指导,为微分方程与符号计算技术的发展有所帮助!