论文摘要
作为现代数学的一个重要分支,一般拓扑学自开创至今蓬勃发展,特别是在二十世纪四十年代到七十年代期间更是经历了一段辉煌时期.在拓扑学的发展过程中,各类具有良好性质的拓扑空间越来越多的被引入进来,充实了一般拓扑学的研究范畴.D-空间类正是在这种大形势下产生的.上世纪七十年代,van Douwen在他的博士论文中引入了D-空间的概念;后来在著名的论文“Some properties of the Sorgenfrey line and related spaces”中,van Douwen与Pfeffer明确地给出了D-空间的定义并进行了探讨,这也是第一次在正式出版论文中出现了有关D-空间的结果.D-空间有着许多良好的覆盖性质;同时,van Douwen还提出了。一些关于D-空间的有趣的问题.这些因素的存在引起了其他拓扑学家的注意,他们开始投入到D-空间理论的研究中.尤其是在近些年来,诸如Arhangel’skii与Buzyakova,Gruenhage,Fleissner与Stanley,彭良雪,林寿等国内外著名的拓扑学家做了大量工作,发表了一系列关于D-空间理论的重要论文.这些工作不仅发展了D-空间的理论体系,更是激发了更多的拓扑学工作者对D-空间理论的研究热情.在第一章中,首次证明了t-可度量化空间是D-空间.Dow,Junnila以及Pelant[2006]定义了t-可度量化空间的概念,它是具有点可数基的空间类的严格推广.另外,Gruenhage在“A note on D-spaces”一文中定义了近良好关系,为发现新的D-空间类提供了一些有效方法.在第1.3节中,通过建立t-可度量化空间上的近良好关系,证明了任一t-可度量化空间都是遗传D-空间,并且得到了一些重要推论.在第1.4节中,对D-空间的并空间理论进行了探讨.并以第1.3节中得到的结果作为基础,引入了强点可数可扩张网络的概念,证明了有限多个具有强点可数可扩张网络的子空间的并是D-空间,进而又证明了有限多个screenableσ-子空间的并是D-空间.在第二章中,工作分为两个部分。在第2.3节中,主要对局部上存在D-空间性质的空间（称之为局部D-空间）进行了探讨,证得了每一个submetacompact局部D-空间是D-空间。在第2.4节中,继续对D-空间的并空间理论进行研究,主要针对满足open（G）的空间展开工作,证明了有限多个满足open（G）的子空间的并是D-空间.值得注意的是,Arhangel’skii在“D-spaces and finite unions”一文中证明了有限多个具有点可数基的子空间的并是D-空间.由于每个具有点可数基的空间都是满足open（G）的,因此上述结果推广了Arhangel’skii的结论.在第三章中,引入了一类严格弱于D的空间,称之为线性D-空间.在第3.3节与第3.4节中对该类空间进行了深入探讨.首先给出了该空间类的几种等价刻画,之后得出了一些结果:每一个δθ-加细空间是线性D-空间;一个拓扑空间是D-空间,如果该空间是有限多个线性D-空间的并.Arhangel’skii多次在他的文章中提出了这样一个问题:如果一个可数紧空间是可数多个D-子空间的并,那么该空间是不是紧空间?该问题分别被Juhasz、Gerlitz与Szentmiklossy[2005],以及彭良雪[2007]所独立解决.在第3.4节中将这样的结果进行了推广,证明了可数紧空间是紧致的如果该空间是可数多个线性D-子空间的并.另外,还证明了一个具有可数extent的空间X如果是有限多个δθ-加细子空间的并,则X是Lindel（?）f空间.在第3.5节中,考察了Dσ-空间与线性D-空间的关系,得知线性D-空间同样是Dσ-空间的严格推广.在第四章中,主要针对Arhangel’skii提出的一个问题进行了回答.在“D-spaces and covering properties”一文中,Arhangel’skii引入了Alexandroff-Dowkerextension的概念,并提出了这样的问题:从内在的形式出发,分别刻画具有点可数基的空间类与具有σ-不交基的空间类的Alexandroff-Dowkerextension.第4.3节给出了这两种空间类的Alexandroff-Dowker extension的刻画:一个空间是metaLindel（?）f空间（screenable空间）当且仅当该空间在具有点可数基的空间类（具有σ-不交基的空间类）的Alexandroff-Dowker extension中.从而回答了Arhangel’skii的上述问题.