求解微分方程的区域分解两重网格算法

论文摘要

本文将两重网格和区域分解算法相结合,首先构造了重叠区域分解的两重网格加性Schwarz算法和加性Schwarz算子的非重叠区域分解的两重网格算法,进行了理论分析,并用于椭圆问题的求解。然后构造了两重网格的局部并行算法,进行了理论分析,并应用于非线性问题的求解。理论分析和数值计算表明了两重网格算法和区域分解算法相结合在求解方程数值解方面的巨大优点,两重网格算法是一个快速收敛的迭代算法,它解决了由低频分量引起整个迭代缓慢收敛的现象,而重叠区域分解的两重网格加性Schwarz算法和加性Schwarz算子的非重叠区域分解的两重网格算法更具提高计算效率的功效。文中第一章概述了区域分解的背景和发展;第二章对区域分解作了简单的介绍,随后介绍了一些经典的重叠区域分解算法和非重叠区域算法;第三章构造了重叠区域分解的两重网格加性Schwarz算法,进行了误差证明并给出了数值算例;第四章构造了加性Schwarz算子的非重叠区域分解的两重网格算法,给出了误差分析和数值算例;第五章是将两重网格的局部并行算法应用于非线性问题的求解,构造了算法,进行了误差估计和数值计算;第六章是本论文的结论部分,给出了论文的主要成果和需要进一步完成的主要工作。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1、绪论
• 1.1 引言
• 1.2 区域分解的优越性
• 1.3 区域分解算法的发展史
• 1.4 非重叠区域分解算法
• 1.5 重叠区域分解算法
• 1.6 本论文的内容安排
• 2. 区域分解算法基础知识
• 2.1 区域分解的基本思想
• 2.2 矩阵和向量表示
• 2.3 非重叠区域分解算法
• Γ的Schur分解'>2.3.1 u_Γ的Schur分解
• 2.3.2 方向导数
• 2.3.3 D-N（Dirichlet-Neumann）算法
• 2.3.4 N-N（Neumann-Neumann）算法
• 2.4 Schwarz交替法
• 2.4.1 经典Schwarz区域分解算法
• 2.5 Jacobi预处理器迭代
• 2.6 小结
• 3. 重叠区域分解的两重网格加性Schwarz算法的改进
• 3.1 基本理论
• 3.2 收敛理论
• 3.3 证明两重网格加性Schwarz算子的收敛性
• 3.4 数值例子
• 3.5 小结
• 4. 加性Schwarz算子的非重叠区域分解的两重网格算法
• 4.1 预备知识
• 4.2 Schur分解
• 4.3 离散调和延拓
• 4.4 Schur分解部分的S的条件数
• 4.5 几个重要引理
• 4.6 收敛性
• 4.7 数值例子
• 4.8 小结
• 5. 非线性问题的两重网格局部并行算法
• 5.1 引言
• 5.2 预备知识
• 5.2.1 有限元空间
• 5.2.2 线性模型问题
• 5.3 非线性问题的有限元离散
• 5.3.1 整体先验误差估计和有限元的适定性
• 5.3.2 局部先验误差估计
• 5.4 两重网格离散
• 5.4.1 通过牛顿迭代修正
• 5.5 新的局部并行算法
• 5.5.1 基于局部算法的并行算法
• 5.6 数值算例
• 5.7 小结
• 6 总结
• 6.1 主要研究成果
• 6.2 进一步需要做的工作
• 致谢
• 参考文献
• 附录