某些几乎倾斜模的补

论文摘要

倾斜理论在代数表示论中起着一个中心的作用．它是二十世纪八十年代初由Brenner-Butler[BB]，Bongartz[Bo]，Happel和Ringel[HR]在研究Artin代数的有限生成模时提出的．倾斜理论是研究模范畴的子范畴之间的等价和对偶，所以可以看成Morita等价理论的推广．后来，Miyashita[Mil]，Colby和Fuller[cF]研究了任意环上的投射维数有限的有限生成的倾斜模．Colpi和Trlifaj[CT]以及Angeleri-Hiigel和Coelho[AC]介绍了任意环上的投射维数有限的无限生成的倾斜模．在文[Wal]中，Wakamatsu研究了Artin代数上的投射维数无限的倾斜模，即Wakamatsu-倾斜模．魏加群在文[Wel]中给出了任意环上的投射维数无限的倾斜模的概念，即∞-倾斜模．Miyashita在文[Mi2]中结合幂等理想构造倾斜模时给出了Artin代数上倾斜对的定义．另一方面，Artin代数上的偏倾斜模的补特别是几乎倾斜模的补是倾斜理论的一个重要方面．几乎倾斜模有多少个补，至今还是一个很受关注的问题．Happel和Unger在文[HU1]中给出了几乎倾斜模存在补的一个充分必要条件．Coelho．Happel和Unger在文[CHU]中给出了一定条件下几乎倾斜模的补的个数的界限且研究了它们的同调性．本文的第一章给出了引言和预备知识．介绍了与本论文有关的研究发展概况，较全面阐述论文的工作背景和思路．第二章，对遗传的有限维代数A，构造了由补连成的正合列，并利用它得到了A的m-重代数A（m）上的忠实的投射维数不超过m的几乎倾斜A（m）-模的互不同构的不可分解补的个数，并且给出了这些补的分布．这样，这一类几乎倾斜模的补就很清楚了．主要结果如下：定理2．2．5设A是遗传的有限维代数，T是忠实的投射维数小于等于m的几乎倾斜A（m）-模，则T恰好有m+1个互不同构的投射维数小于等于m的不可分解补．定理2．2．6设A是遗传的有限维代数，T是忠实的几乎倾斜A（m）-模．（1）T有有限个互不同构的不可分解补{Xi}i=0n．这里每个Xi如定理2．2．5给出．（2）而且，如果pdA（m）T=t≤m，则T的不可分解补有如下性质：（1°）如果pdA（m）X0=0，则任意0≤i≤n，pdA（m）Xi=i．（2°）如果pdA（m）X0≠0，则存在唯一的整数j，0≤j≤t-1使得当0≤i≤j时，pdA（m）Xj=pdA（m）Xj+1=j+1，pdA（m）Xi=i+1；当j+1≤i≤n时，pdA（m）Xi=i．推论2．2．7设A是无限表示型的，T是忠实的几乎倾斜A（m）-模且pd(A（m）T≤m．则T的互不同构的不可分解补的个数要么是2m+1要么是2m+2．第三章的第二节利用文[WX1]和[WX2]中的结果，给出了几乎C-倾斜模和C-补的定义，得到了几乎C-倾斜模有C-补的一个等价条件．结果如下：定理3．2．13设C是自正交的A-模，且满足Cχ有相对内射余生成子，Cχ有限可滤以及Cχ关于满态射的核封闭．设M是几乎C-倾斜模，则M有C-补当且仅当M⊥∩Cχ在Cχ里共变有限．第三章的第三节，对自正交左A-模C和左A-模T，给出了T的C-忠实维数C-fd（T）和T的C-余忠实维数C-cofd（T）的概念，讨论了当T是几乎C-倾斜模时，它们和T的互不同构的不可分解C-补的个数之间的关系．得到下列主要结果：定理3．3．4设C是自正交的A-模，且满足Cχ有相对内射余生成子，Cχ有限可滤以及Cχ关于满态射的核封闭．设M是几乎C-倾斜模且存在C-补．（1）M存在唯一不可分解的C-补X0使得M⊥∩Cχ=（M⊕X0）⊥∩Cχ．即X0是M的Bongartz C-补．（2）如果M不是C-忠实的，则M只有唯一的不可分解C-补X0．（3）如果M是C-忠实的，则有正合列其中Xi=Cokerhi-1（i≥1），Xi（?）Mi”是Xi的极小左add M-逼近（i≥0）．而且，{Xi}是M的互不同构的不可分解C-补的完全集．定理3．3．5设C是自正交的A-模，且满足Cχ有相对内射余生成子，Cχ有限可滤以及Cχ关于满态射的核封闭．设M是几乎C-倾斜模且存在C-补．则M恰好有n+1个互不同构的不可分解C-补当且仅当C-cofd（M）=n．定理3．3．6题设于定理3．3．5一样．如果M有n+1个互不同构的不可分解C-补，则C-fd（M）≥n.第四章给出Artin代数上W-C-倾斜模和∞-C-倾斜模的概念，研究了它们之间的联系．而且我们还将倾斜模上的Auslander-Reiten对应推广到W-C-倾斜模上．得到了下列主要结果：定理4．2．4设T是∞-C-倾斜模且Cχ有相对内射余生成子，则T是W-C-倾斜模．命题4．2．5设T∈Cχ且∞-pres（T）（?）C⊥．则∞-pres（T）（?）Cχ．定理4．3．6设C是自正交模，Cχ有相对内射余生成子，C⊥1关于满态射的核封闭．则T（?）Tχ∩Cχ给出{T|T是基础的W-C-倾斜模的同构类}→{D|D是Cχ中相对余可解的有相对投射生成子的子范畴，且D关于这个相对投射生成子是极大子范畴．}的一一对应．定理4．3．7设C是自正交模，Cχ有相对内射余生成子，C⊥1关于满态射的核封闭．则T（?）χT∩Cχ给出{T|T是基础的W-C-倾斜模的同构类}→{D|D是Cχ中相对可解的有相对内射余生成子的子范畴，且D关于这个相对内射余生成子是极大子范畴．}的一一对应．

论文目录

• 中文部分
• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言及预备知识
• §1.1 引言
• §1.2 预备知识
• （m）-模的补'>第二章 几乎倾斜A^（m）-模的补
• §2.1 预备知识
• （m）-模的补'>§2.2 几乎倾斜A^（m）-模的补
• §2.3 m-cluster范畴的几乎倾斜对象的补
• 第三章 几乎C-倾斜模的补
• §3.1 预备知识
• §3.2 几乎C-倾斜模的补
• §3.3 C-忠实维数
• 第四章 ∞-C-倾斜模和W-C-倾斜模
• §4.1 ∞-C-倾斜模
• §4.2 W-C-倾斜模
• §4.3 W-C-倾斜模的Auslander-Reiten对应
• 参考文献
• 致谢
• 读博期间完成的论文
• 学位论文评阅及答辩情况表
• 英文部分
• Abstract
• 中文摘要
• Chapter 1. Introduction and preliminaries
• §1.1 Introduction
• §1.2 Preliminaries
• （m）-modules'>Chapter 2. Complements to the almost complete tilting A^（m）-modules
• §2.1 Preliminaries
• （m）-modules'>§2.2 Complements to the almost complete tilting A^（m）-modules
• §2.3 Complement to the almost complete tilting objects in m-cluster categories
• Chapter 3. Complements to the almost complete C-tilting modules
• §3.1 Preliminaries
• §3.2 Complements to the almost complete C-tilting modules
• §3.3 C-faithful dimension
• Chapter 4. ∞-C-tilting modules and W-C-tilting modules
• §4.1 ∞-C-tilting modules
• §4.2 W-C-tilting modules
• §4.3 Auslander-Reiten for W-C-tilting modules
• Bibliography
• Acknowledgements
• Accepted and completed papers
• 学位论文评阅及答辩情况表