无网格数值积分方法的理论研究

论文摘要

无网格方法是目前工程领域应用较广泛的方法之一,计算精度较高,受到数值计算工作者的青睐,但这种方法面临的一个重大问题是使用常用积分限制了其优势的发挥,因此无网格积分问题的理论亟待深入研究。本文就在前人大量工作的基础上,立足于无网格方法数值积分的理论研究,综合运用各种积分理论,在无网格数值计算领域进行了一些有益的探索,其中包括无网格方法数值积分的数学基础、现有的各种无网格数值积分方法等。主要工作归纳如下:1.深入探讨几种常用无网格方法的插值理论,论证各种无网格方法之间的统一性问题。对滑动最小二乘法、径向基函数法、重构核函数法、自然邻接插值法、单位分解法等进行归纳。2.研究数值积分的理论基础,并进一步归纳各种无网格方法所采用的数值积分方法,总结这些方法的共性,并对它们进行了分类,共分三大类:背景网格积分、有限网格积分及结点积分。3.通过分析无网格方法的积分误差,找出产生误差的各种原因,归纳无网格积分误差的共性,并且针对自然邻接点方法的积分误差,通过比较各积分方法的实际效果,最终选择蒙特卡罗积分方法解决这些误差,且给出了采用蒙特卡罗积分方法的自然邻接点方法的积分步骤,以及蒙特卡罗积分在其他无网格方法上的推广。4.通过大量算例,验证蒙特卡罗积分在自然邻接点方法中积分计算的有效性。通过上述几方面的探索,本文得到的主要结论有:无网格方法的形函数多为有理式,并且采用动态插值,导致积分误差的产生;针对自然邻接点法,当结点数量多时,蒙特卡罗积分的计算精度高于Hammer积分的计算精度。综上所述,蒙特卡罗方法能够有效的解决无网格方法中形函数为有理式引起的误差、积分区域与支持区域不一致引起的误差及动态插值形函数表达式不统一引起的积分误差。一系列算例与理论解的对比证明本文的理论与方法正确性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 无网格方法
• 1.2.1 基于核函数近似的无网格方法
• 1.2.2 基于最小二乘近似的无网格方法
• 1.2.3 基于自然邻接插值的无网格方法
• 1.3 无网格积分
• 1.4 无网格积分存在的问题
• 1.5 本文研究思路
• 1.6 本文的研究内容及创新点
• 第2章 无网格法插值理论
• 2.1 径向基函数近似
• 2.2 核函数近似和重构核近似
• 2.3 自然邻接插值方法
• 2.3.1 Voronoi图和Delaunay划分
• 2.3.2 自然邻接形函数与自然邻接近似
• 2.3.3 自然邻接形函数的性质
• 2.4 单位分解近似
• 2.5 移动最小二乘近似
• 2.6 本章小结
• 第3章 无网格方法的数值积分
• 3.1 数值积分的数学基础
• 3.1.1 一维高斯积分
• 3.1.2 二维高斯积分
• 3.1.3 极坐标下二维高斯积分
• 3.1.4 蒙特卡罗积分
• 3.2 无网格积分方案
• 3.2.1 背景网格积分
• 3.2.2 有限元网格积分
• 3.2.3 结点积分
• 3.2.4 移动最小二乘积分
• 3.2.5 自然邻接点法的单位分解积分
• 3.3 无网格法的积分误差
• 3.3.1 高斯积分积有理式时引起误差
• 3.3.2 形函数支持域与积分区域不一致引起的误差
• 3.3.3 动态插值形函数表达式不统一引起的积分误差
• 3.4 本章小结
• 第4章 无网格数值积分的改进方案
• 4.1 概述
• 4.2 蒙特卡罗积分在自然邻接点法上的应用
• 4.3 蒙特卡罗积分在无网格局部Petrov-Galerkin法上应用
• 4.3.1 Local Symmetric Weak Form（LSWF）
• 4.3.2 方法的实施
• 4.3.3 无网格局部Petrov-Galerkin法隐含的问题
• 4.4 蒙特卡罗积分在其它无网格方法上的推广
• 4.5 本章小结
• 第5章 算例验证
• 5.1 概述
• 5.2 弹性问题
• 5.2.1 分片试验
• 5.2.2 悬臂梁
• 5.2.3 劈尖
• 5.2.4 半平面问题
• 5.2.5 无限大圆孔板
• 5.3 本章小结
• 第6章 结论和展望
• 6.1主要研究结论
• 6.2进一步研究方向
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历 在读期间发表的学术论文