论文摘要
本文研究了代数组合学以及数值逼近中的一些问题，主要针对差商形式的Faàdi Bruno公式以及其在行列式恒等式上的一些应用．另外，以Faàdi Bruno公式作为工具对Hermite插值给出了一种新的表达形式，即对称群循环指标表示，同时研究了其数值微分公式及其余项的渐进表示．在曲线参数方程的多项式插值研究中，一般有其固定的框架．通常的问题是选取节点组s0，s1，…，sn让多项式Pn逼近曲线f，使得dp(f|[s0,sn],Pn)的逼近阶尽可能高，这里而g是一个严格单调的函数．在误差的研究中，一般会考虑复合函数f o g的高阶导数的上界．然而，这里需要fog是光滑性比较好的函数，在其光滑性较差的情形下，我们通常会考虑复合函数fog的高阶差商，希望通过f和g的高阶差商的上界来估计fog的高阶差商的上界．所以，本文第一个要解决的问题就是对于给定的函数f和g，以及给定的节点组t0，t1，…，tn，复合函数h：=fog在这组节点上的n阶差商，被用函数f在节点组g（t0），g（t1），…，g（tm）上的诸个差商（m=1,2,…，n）和g在取自t0，t1，…，tn的节点组上的诸个差商的组合表示出来．Faàdi Bruno公式是组合分析中一个非常重要的公式，主要是用来解决复合函数高阶导数的显式表达问题，其在统计学中有着广泛的应用．其具体表达为：这里指数型部分Bell多项式其中在本文的第三章中，我们通过对差商的链式法则的研究及Steffensen公式的运用，给出了四种不同表达方式的差商形式Faàdi Bruno公式．特别当给定的节点完全重合时便导致关于fog的高阶导数的Faàdi Bruno公式．该公式的证明方法多种多样，对其证明的研究与应用一直以来从未间断过，我们这个方法也可以看作是对其的一个新的证明．由于公式相对比较复杂，为了便于理解，我们对阶数相对较低的情况给出了一些例子．Mina行列式恒等式是一个整齐漂亮的恒等式：从而引起很多数学家的兴趣．关于其的证明和推广已有大量的文献出现．我们利用差商的性质，以差商形式Faàdi Bruno公式作为主要工具，给出了离散形式的Mina行列式恒等式，特别当节点完全重合时，再一次得到了该恒等式．进一步，我们把离散形式的Mina行列式恒等式推广到关于复合函数的行列式恒等式，使得离散形式的Mina行列式成为其一个特例．同时，我们也考虑了带权函数的行列式恒等式．所有的结果都是对文献[28]的进一步推广．这些结果包含了很多组合学上的经典恒等式．我们给出了一些具体例子加以说明．除此之外，我们考虑Mina行列式恒等式在q导数意义下的情形，利用差商与q导数的关系，给出了相应的恒等式．最近，随着大量的关于多变量的复合函数的高阶导数求解文献的出现，Faàdi Bruno公式也被推广为高维的形式[33，36，71]．然而，它们的表达和证明是如此的繁琐以致很难被用来实际计算．我们希望通过我们的研究来简化该表达式和证明过程，同时推广Faàdi Bruno公式．假定函数f和g满足f：V→F，g：U→V，而函数h：U→F是一个复合函数并且等于fog，用t（?）f（g（t））来表示．F表示实数集R或复数集C．另外，U（?）F，V（?）Fs，s是一个正整数．根据[27]中g的差商的定义，我们能得到以下的推广的Faàdi Bruno公式，其中，是一个含有多个向量变量x1，x2，…，xn的普通型部分Bell多项式．除此之外，我们根据混合偏差商的定义和性质，对差商形式的Faàdi Bruno公式也给出了相应的推广形式，并且在此基础上给出了例子进行说明．最后，我们讨论了Hermite插值．众所周知，插值和差商是数值分析中非常重要的解析运算工具．它们有着广泛的应用，如在方程求根、求积公式等等．对于Hermite插值很多教科书只讲到特殊的Hermite插值，即插值多项式及其一阶导数满足己知的插值条件．很少教科书会给出一般Hermite插值多项式的具体表达式．在本文中，我们结合组合分析中一个重要的概念，即对称群循环指标多项式，实际上，它有下面的具体表达形式这里是一个集合，其任意元素a：=（a1，a2，…，an）对应着一个将n∈N分拆为a1个1，a2个2，…，an个n．而且，对a∈πn，即是n个符号的由a1个长为1，a2个长为2，…，an个长为n的循环合成的置换的数目．我们以它作为表示工具，给出了一般Hermite插值多项式的显式表达式，并且我们研究了其数值微分公式及其余项．假定给定一点x，在x的充分小的领域内被插函数是光滑的，我们可以用Hermite插值多项式的导数来逼近被插函数的导数，并给出了相应的余项的渐进展开．